Es un hecho que Platón, en algunos de sus "Diálogos", nos ofrece una formulación matemática de la doctrina. Nos limitaremos a dos ejemplos: la relación geométrica entre el mundo sensible y el inteligible en el libro VI de La República y la explicación numérica, en el Timeo, del proceso de formación del "Alma del Mundo" a partir de la serie de los dobles y los triples (1-2-3-4-9-8-27).

En el primer caso, se trata de establecer una analogía geométrica entre los mundos sensible e inteligible:

"Toma, pues, una línea que esté cortada en dos segmentos desiguales y vuelve a cortar cada uno de los segmentos, el del género visible y el del inteligible, siguiendo la misma proporción...

Ahora aplícame a los cuatro segmentos estas cuatro operaciones que realiza el alma: la inteligencia, al más elevado; el pensamiento, al segundo; al tercero dale la creencia y al último la imaginación, considerando que cada uno de ellos participa tanto más de la claridad cuanto más participen de la verdad los objetos a que se aplica"(1).

El otro texto, de no fácil interpretación, es el que habla de la formación del "Alma del Mundo" en el Timeo:

"Veamos de qué elementos y de qué forma la hizo. De la sustancia indivisible, que se conduce siempre de una manera invariable, y de la sustancia divisible que se halla en los cuerpos, compuso entre las dos, mezclándolas, una tercera clase de sustancia intermedia, que comprendía la naturaleza de lo Mismo y la de lo Otro...Luego tomó él esas tres sustancias y las combinó las tres en una forma única, armonizando por la fuerza con lo Mismo la sustancia de lo Otro, que se resistía a ser mezclada".

El texto continúa explicando cómo, tras dividir el todo en siete partes, proporcionales a la serie 1-2-3-4-9-8-27, se rellenan los intervalos dobles y triples, de manera que en cada intervalo hubiese dos términos medios. Surgen luego en los intervalos que acabamos de señalar nuevos intervalos de 1 y 1/2, de 1 y 1/3 y de 1 y 1/8. Con ayuda de éste último se colman todos los intervalos de 1 y 1/3, dejando subsistir de cada uno de ellos una fracción tal que el intervalo restante quede definido por la fracción 256/243. Y así se empleó toda entera la mezcla en cuestión.

"Ahora bien, toda esta composición el Dios la cortó en dos en su sentido longitudinal, y, habiendo cruzado una sobre otra las dos mitades, haciendo coincidir sus puntos medios, como una X, las curvó para unirlas en círculo, uniendo entre sí los extremos de cada una, en el punto opuesto al de su intersección. Los rodeó del movimiento uniforme que gira en el mismo lugar y, de los dos círculos, hizo uno interior y el otro exterior. Destinó el movimiento del círculo exterior a ser el movimiento de la sustancia de lo Mismo; y el del círculo interior a ser el de la sustancia de lo Otro. El movimiento de lo Mismo lo orientó, siguiendo el lado de un paralelogramo, de la izquierda hacia la derecha, y el de lo Otro, siguiendo la diagonal, de la derecha hacia la izquierda. Y concedió la preeminencia a la revolución de lo Mismo y de lo semejante, pues sólo toleró ésta sin división. Por el contrario, habiendo dividido seis veces la revolución interior, hizo siete círculos desiguales, según los intervalos dobles y según los intervalos triples, de manera que hubo tres de cada clase"(2).

¿Cómo entender los pasajes en cuestión? Decían los pitagóricos que todo está estructurado según el número, y el propio Platón afirma que los números constituyen el más alto grado del conocimiento, más aún, son el conocimiento por antonomasia.

La clave de la edificación del cosmos está en la noción de "mediación". Entre dos números hay un intervalo que se va llenando a medida que el cosmos se desarrolla. Así, por ejemplo, entre dos números que nos dan las longitudes de dos cuerdas diferentes de una lira, el desarrollo de la música exigirá intercalar una cuerda intermediaria. ¿Cómo se establecen estos valores intermediarios? No al azar, sino de acuerdo con ciertas leyes establecidas por el Demiurgo, que exigen que todo número intercalado entre otros dos sea una media entre ellos.

Los pitagóricos distinguen tres tipos de media: la aritmética, en la que el intervalo entre el término mayor y el medio es el mismo que el existente entre éste último y el menor (entre a y b, la media, m, será igual a (a+b)/2). La media armónica, en la que la diferencia entre el término mayor y el medio referida al mayor iguala a la diferencia entre el medio y el menor referido al menor (entre a y b, la media, h, se formulará: h=2ab/a+b). La media geométrica, en la cual la relación entre el término mayor y el medio es la misma que hay entre el medio y el menor (entre a y b, la media, g, será igual a la raíz cuadrada de a.b).

Hay que hacer constar que a las medias aritmética y armónica se las llama también medias musicales. En efecto, la fórmula h=2ab/a+b puede escribirse también 1/h=(1/a+1/b)/2, es decir, la media aritmética de los inversos de a y b. De ahí que ambas medias, aplicadas respectivamente a la longitud de dos cuerdas y a las frecuencias de las mismas, hayan sido denominadas medias musicales.

¿Qué relación existe entre las medias aritmética, armónica y geométrica? Si en la fórmula de la media armónica (h=2ab/a+b), sustituimos 2ab por su equivalente 2g2, y a+b por 2m, tendremos: h=g2/m. Y, por tanto: g2=mh. Ahora bien, por definición, g2=ab. Por consiguiente, la media geométrica entre dos números lo es también de sus medias musicales, m y h.

Hasta ahora hemos considerado las medias que podríamos denominar de comparación, pues parten de la confrontación entre dos magnitudes, a y b, independientes entre sí. En las medias de partición, en cambio, el punto de partida es la división de un entero, que fraccionamos en dos partes: a la mayor la denominamos parte, y a la menor, resto. Así, pues, si el entero es 1, la parte será x, y el resto, 1-x. Nos queda por definir otro concepto, el de antimoria, que es la inversa de la parte, es decir, 1/x.

Reemplacemos ahora en las fórmulas de las medias de comparación, los términos a y b por los valores que toman en la partición. Si sustituimos a por 1 y b por 1-x, tendremos la fórmula de la media aritmética, que, por definición es x, la parte: x=1+1-x/2=2-x/2, de donde x=m=2/3.

En cuanto a la partición geométrica, tendremos: x2=1(1-x)=1-x, o sea, g2=1-g, y, tomando el valor positivo de la ecuación de segundo grado que resulta, g=0,618..

En cuanto a las antimorias, la aritmética, valdrá M=1/m=3/2, que marca la frecuencia de la quinta musical. Y la geométrica, G=1/g, de donde G2=G+1, ecuación de segundo grado cuya raíz positiva es 1,618., que es el llamado número de oro.

Así, pues, si las medias de comparación nos daban fórmulas algebraicas, en las que a y b podían tomar infinidad de valores, las medias de partición dan como resultado números, verdaderos invariantes del cosmos numérico (3).

Ahora bien, la partición no puede detenerse en la primera etapa, sino que habrá de continuar indefinidamente, lo que da lugar a una progresión. Pues bien, para Platón, el desarrollo del cosmos se efectúa según una progresión geométrica cuya razón es una media de partición. Si esta media es la aritmética, es decir, 2/3, tenemos la clave de la edificación musical del cosmos. Si es la geométrica, de valor 0,618., tenemos la clave de la edificación de la vida, pero también de la conciencia. A diferencia de la partición geométrica que da la quinta musical (en la que la segunda parte era diferente del primer resto), aquí la segunda parte y el primer resto son idénticos. Resulta, pues, que el resto ya no es despreciable, como en la quinta musical; es parte integrante de la sección áurea, lo que le confiere un carácter de perpetuidad. Es el carácter esencial de la partición áurea: la perpetuación automática, que es la ley más imperiosa del cosmos biológico, la que rige la reproducción de las especies vegetales o animales, e incluso minerales, como lo prueba en particular el crecimiento de los cristales. El número áureo engendra una progresión análoga a la gama musical, pero mucho menos tangible, pues, como decía Platón, la audición es la única sensación que habla directamente a nuestra alma. Y este algo menos tangible expresa el misterio del cosmos todavía con más profundidad que la escala musical, porque el número áureo le confiere un carácter de perpetuidad que no comporta la quinta.

Si el número de Neper está ligado a la continuidad, el número áureo marca el camino discontinuo de la evolución. La serie áurea es la de cada individuo (hombre, ciudad, nación, cultura), condenado a la discontinuidad por el solo hecho del nacimiento y la muerte, que le hacen pasar de un medio a otro. Por tanto, está efectivamente ligado a la vida y traza el camino evolutivo a los vegetales, animales y hombres (4).

Pues bien, si el texto de La República tiene relación con el número áureo, el del Timeo está íntimamente conectado con la música.

En el citado texto de La República se establecen, pues, las proporciones siguientes: imaginación:opinión::visible:inteligible //inteligencia:conocimiento::visible:inteligible//por tanto: imaginación:opinión::inteligencia:conocimiento; o sea, imágenes:cosas::números:ideas.

Platón nos propone la proporción 1:x::x:1-x. Una vez resuelta la ecuación, tendremos: 1: 0,618.::0,618.:1-0,618., o sea, 1:0,618.::0,618.:0,381. Si el mundo inteligible es como 1, el mundo sensible será como 0,618. A su vez, dentro del mundo inteligible, el segmento menor será 0,381., y el mayor, 0,618.Y, dentro del mundo sensible, el segmento menor será 0,235., y el mayor, 0,381.De manera que las proporciones entre segmentos serán éstas: 0,618.:0,381.::0,381.:0,235., es decir: inteligencia: pensamiento::opinión:imaginación, o también Idea:número::cosa:imagen. Por otra parte, 0,235.:0,381.::0,618.:1, a saber, imagen:cosa::mundo sensible:mundo inteligible. Y, por último, 0,381.:0,618.::0,618.:1, o, dicho de otro modo, número: idea:mundo sensible:mundo inteligible. En definitiva, si el segmento a dividir en primer lugar figura la unión de alma y cuerpo, y, por consiguiente, el cuerpo es como 0,381., y el alma como 0,618., también cabe expresar la proporción del modo siguiente: cuerpo:alma::0,618..1. Y, por tanto, el nivel inferior del cuerpo será como 0,236., y el superior como 0,381.Y, análogamente, el nivel inferior del alma será como 0,381., y el superior como 0,618. Son, pues, las proporciones que se derivan del denominado "número de oro" o "sección áurea", la "Divina Proporzione" del arte renacentista.    

Por eso Platón, en el pasaje aludido, habla de tomar las cosas como "imágenes inteligibles" (números) de las Ideas (que serían las verdaderas cosas), lo que se manifiesta de modo plástico cuando observamos que, en la primera de las proporciones examinadas, 0,381.,simboliza a la vez (aunque a distinto nivel) el ámbito de la "dianóia" (el de los números) y el de la "dóxa" o "pístis" (el de las cosas). Pero también podría decir (tercera proporción) que la esfera de la "nóesis" (la de las Ideas) es análoga al mundo sensible en su totalidad, pues ambos planos poseen el mismo número: 0,618..

La relación entre los dos mundos y, dentro de cada uno de ellos, entre las dos partes, no es una relación musical, sino algo más completo y sutil que, en este caso, tiene que ver con la "salida de la caverna" y con el desarrollo del verdadero ser del hombre. La frase "Que no entre aquí quien no sepa geometría"  adquiere a este propósito especial relevancia. En efecto, a diferencia de la sensibilidad musical, que tiene carácter universal y no exige conocimientos especiales, la peculiar sensibilidad que lleva consigo la geometría supone conocimientos bien estructurados.

Por tanto, cabe una simbolización numérica de los mundos (quizá más adecuada para su comprensión, dado el nivel existencial del ser humano, inferior al del "Alma del Mundo") (5), de manera que el mayor de los segmentos puede atribuirse al inteligible, en el que la claridad es mayor. Pero la parte más clara del mundo visible iguala en claridad a la inferior del inteligible. ¿Qué significa ésto? ¿Quizá que las cosas son algo así como la "encarnación" de las figuras geométricas, pues, en definitiva, el Demiurgo lo hizo todo según medida, mientras que las Ideas son modelo pero no medida de las cosas? A los números les compete clasificar las cosas según medida (las cosas que tienen la misma figura o el mismo número pueden agruparse), pero las Ideas prescinden de la medida y de la figura de las cosas.

Por otro lado, el segmento de mayor claridad dentro del mundo inteligible, es decir, las Ideas, son "como" todo el mundo sensible, imágenes+cosas.

Hasta aquí la paráfrasis del texto de Platón. Por cierto, cuando comparamos una cierta interpretación del pensamiento platónico con el contenido de este y otros textos, es difícil evitar la sensación de que, con frecuencia, se nos ha escamoteado el pensamiento del padre de la filosofía. ¿Cómo ha podido hablarse, a propósito del sistema platónico, del "abismo" entre lo sensible y lo inteligible, cuya relación, marcada por 1,618., reviste particular importancia, ya que indica a la vez la razón entre unidad y multiplicidad? Por lo demás, hay que destacar la proximidad de 1,618.. a la frecuencia de la nota "la" (que es 1,687..) y, sobre todo, al la bemol, por más que se trate de "escalas" diferentes. En el símil de los segmentos se establece una clara analogía entre los diversos planos, es decir, un "puente" bien definido entre el ámbito sensible y el inteligible, un "puente" geométrico a partir de la famosa "sección áurea".

Ahora bien, ¿qué sentido tiene establecer una analogía entre los mundos sensible e inteligible, por un lado, y los sub-niveles en que se dividen ambos mundos, por otro? ¿Puede afirmarse en rigor que la distancia entre el mundo sensible y el inteligible, dos ámbitos de por sí muy alejados, es la misma que la que, dentro de uno y otro mundo, separa la parte inferior de la superior? No es posible puesto que la distancia interior no puede igualar a la exterior. En efecto, cada uno de los segmentos, el del mundo sensible y el del inteligible se tomará luego por separado como constituyendo una unidad de referencia, pues ¿cómo va a haber entre imagen y cosa la misma diferencia que entre número e Idea? Y, menos todavía, ¿cómo se va a identificar la cosa con el número? Se trata, por tanto, de una analogía entre el ámbito de la claridad y el de la oscuridad, a sabiendas de que en la oscuridad hay grados, al igual que en la claridad. Pero nunca podrá identificarse la mínima oscuridad con la mínima claridad, pues entre las tinieblas y la luz hay un salto cualitativo, por más que la figuración sensible nos muestre la contigüidad entre la fase que antecede inmediatamente al alba y el comienzo de ésta última. Sin embargo, el tránsito entre el mundo sensible y el inteligible supone un paso de lo concreto a lo abstracto, de la infinidad de las cosas a la unidad de la Idea.

Pasemos ahora al texto del Timeo, en el que el lenguaje utilizado guarda relación con la música. En primer lugar, la descripción que nos da Timeo de los tres tipos de sustancias parece apuntar a una identificación de la primera con la unidad, el denominado ámbito de "lo Mismo", en tanto que la segunda sustancia se referiría a la esfera de "lo Otro", que asiste al despliegue de las sucesivas potencias de 2. Para algunos, la tercera sería la síntesis de unidad y de la serie de las dualidades. Tal es la tesis de R.Abellio (6), que relaciona los sucesivos umbrales de integración de la dualidad en la unidad con la serie de los números perfectos, es decir, de aquéllos cuyo especial equilibrio se manifiesta en que igualan a la suma de sus divisores.

En cualquier caso, es claro que la estructura de las tres sustancias se refleja en la serie 1-2-3-4-9-8-27: dejando aparte la unidad, el ámbito de "lo Mismo", nos hallamos con la sucesión de los dobles (2-4-8), por un lado, y con la de los triples, por otro, por más que vayan mezcladas y, a veces, diesen lugar a malentendidos tan flagrantes como el de que Platón habría antepuesto por error el 9 al 8. Se olvida que la llamada "doble Tetractys" parte de la unidad y encierra no sólo la progresión de la dualidad (2-4-8), que de por sí no genera la escala musical (puesto que sólo explica el paso de una octava a otra), sino también la formación de la gama musical completa a través de la serie de los triples (3-9-27). En efecto la serie de los dobles sólo daría lugar a "octavas" de una sola nota, mientras que el 3 introduce la quinta musical, capaz por sí sola de engendrar la entera gama.

 Según Néroman, Platón se desinteresa de las distancias y de las velocidades individuales de los planetas y se concentra en el orden, factor capital, ya que constituye estructuras, progresiones, gamas que son el armazón mismo del cosmos o mundo armónico. Platón atribuye a los planetas números de orden, que expresan longitudes de cuerdas sonoras en armonía con la vibración de cada uno de ellos. De acuerdo con dos pasajes del "Timeo", 36 d y 38 d, tales números expresarían las distancias de los planetas a la Tierra referidas a la distancia Luna-Tierra. Según Albert Rivaud, la correspondencia sería entonces:

Luna................1

Mercurio............2

Venus...............3

                                    Sol.................4

Marte...............8

Júpiter.............9

Saturno............27

 

Néroman, en cambio, propone éstas:

Luna................1

Sol.................2

Marte...............3

Venus...............4

Júpiter.............9

Mercurio............8

Saturno............27

Pero ambas correspondencias son armónicas. Si, de derecha a izquierda, transportamos sobre la circunferencia el septenario de los planetas por el orden en que aparecen en la segunda y unimos cada uno de ellos con el que le sigue en tercer lugar (es decir, partiendo de la Luna y en sentido inverso: el tercero a partir de la Luna será Mercurio, dejando en medio a Saturno; el tercero contando desde Mercurio será Venus, dejando en medio a Júpiter, etc.), obtendremos la correspondencia de Rivaud.

Con todo, la interpretación del texto del Timeo tropieza con una dificultad: la descripción que del cosmos nos ofrece Er el Panfilio en el libro X de La República. Er contempla en vida lo que los demás hombres sólo pueden ver tras la muerte: el eje luminoso del mundo o el "huso de la Necesidad", que se extiende de arriba a abajo desde la última extremidad del universo y alrededor del cual se efectúan todas las revoluciones celestes. El huso en cuestión comporta un eje diamantino, puntiagudo en sus extremidades y rodeado de una vaina formada por 8 anillos, de diferentes colores, encajados los unos en los otros cual vasos de diámetro decreciente. Desde su posición en el plano de la eclíptica, Er puede ver una sección de las 8 vainas, cuyos bordes son de espesor diferente. Por lo demás, las 7 primeras giran en sentido contrario a la rotación de la octava, la del anillo exterior, que la Parca Clotho mueve con la mano derecha, es decir, de izquierda a derecha.

En contraposición al Timeo, que habla de 7 anillos, Er alude a 8. )A qué se refiere? El octavo anillo es el Zodíaco estelar, es decir, el de las estrellas "fijas". Ahora bien, dicha esfera viene introducida en el sentido geocéntrico, ya que Platón le asigna la velocidad máxima, que es la del movimiento de rotación, contrario al de los 7 planetas (7).

¿Cómo entender esto? Sabemos que las estrellas fijas giran muy lentamente, a razón de una vuelta cada 25920 años en el sentido directo, el mismo de los planetas: es lo que se llama la precesión de los equinoccios, conocida ya por Hiparco y por Platón. Pero Platón asegura que el octavo anillo gira en sentido retrógrado. ¿Cómo explicar la aparente contradicción. De la siguiente manera: todos los planetas se mueven en sentido directo, el mismo en que la Tierra gira sobre sí misma. Por eso la bóveda celeste desfilará bajo nuestros ojos en sentido retrógrado. Por tanto, el octavo anillo no es otro que la esfera de las estrellas "fijas" girando en sentido retrógrado a la velocidad del movimiento de rotación terrestre.

La exposición anterior suscita una serie de cuestiones, cuya solución nos ayudaría a comprender mejor el pensamiento platónico: ¿Cuál es el "status" del simbolismo numérico? ¿Por qué la música es utilizada por Platón como una clave? ¿Qué consecuencias tiene la tesis según la cual, entre las artes, la música es la única que no requiere preparación especial para "sentirla"? ¿Por qué Platón utiliza en una de sus obras más maduras los recursos de la numerología y de la música, representando como representan el nivel más bajo del mundo de las Ideas? ¿Quizá por razones pedagógicas, tan relevantes en la obra de Platón? ¿Quizá por amor a la exactitud y a la Belleza, aunque se hallen por debajo del Bien? ¿Quizá como una concesión al estatuto de las cosas, lo que desautorizaría a la mayoría de los intérpretes de Platón, para quienes el sistema platónico desvaloriza las cosas frente a las Ideas? Por el contrario, las cosas sirven aquí como "soporte" numérico (no en vano la "pístis" posee el mismo número que la "dianóia").

Cuando reflexionamos sobre tan importantes cuestiones, inmediatamente nos viene a la mente la doctrina platónica de la composición del ser humano tal como aparece en el Timeo. Los humanos sólo constarían de la segunda y la tercera sustancias, de ahí la dificultad para comprender las Ideas, no digamos la del Bien, y la mayor accesibilidad de los números y de las figuras a la inteligencia humana. En cualquier caso, ni siquiera las Ideas pueden ser entendidas plenamente sin la matemática, ya que el ámbito de la "nóesis" completa la proporción que tiene por razón el número áureo. Es el principio de analogía el que hace posible la dialéctica y pone en su debido lugar a la famosa "jôris". Dicho principio combina lo idéntico con lo diverso, lo visible con lo invisible. Por eso, los números nos permiten "medir" lo que de por sí es no-mensurable. Y si su campo de aplicación más inmediato es el mundo sensible y su esfera homogénea la de la "dianóia", no llegan a abarcar con propiedad el ámbito de la "nóesis" (como máximo podríamos relacionar este campo con los números primos, más allá de los cuales sólo se sitúa la unidad).