Problemas de Campo eléctrico

Pág. inicialPág. anterior Constantes físicas

 

Problemas de Física, Bachillerato

Tema: Campo eléctrico

Campo nulo

Carga en condensadores
Tres cargas en un cuadrado Condensador plano
Dos cargas Carga en movimiento
Electroscopio Redistribución de cargas
Disco cargado Dos condensadores
Anillo cargado Fuerza entre placas
Tres vértices cargados PAU Dos cargas PAU
Electrón frenándose

 

 

 

 

 

 

 

Un electrón es lanzado con una velocidad de 2.106 m/s paralelamente a las líneas de un campo eléctrico uniforme de 5000 V/m. Determinar:

a) La distancia que ha recorrido el electrón cuando su velocidad se ha reducido a 0'5.106 m/s

b) La variación de  energía potencial que ha experimentado en ese recorrido.

Solución:

Al tener el electrón carga negativa se ve sometido a una fuerza opuesta al campo eléctrico que le va frenando:

m . a = q . E       ®     a = q . E / m

a = 1'6.10-19 . 5000 / 9'1.10-31 = 8'79.1014 m/s2 

Al ser la aceleración constante, las ecuaciones del movimiento son:

v = vo - a . t      ®    t = (vo - v) / a = ( 2.106 - 0'5.106 ) / 8'79.1014 = 1'7.10-9 s

e = vo . t  - a . t2 /2 = 2.106 . 1'7.10-9 - 8'79.1014 . (1'7.10-9 )2 / 2 = 0'0021 m

La diferencia de potencial entre dos puntos de un campo uniforme es:

VA - VB = E . d = 5000 . 0'0021 = 10'5 Voltios

La variación de energía potencial será:

EpA - EpB = q . (VA - VB ) = - 1'6 . 10-19 . 10'5 = - 1'68.10-18 Julios

Ir al principio

 

 

 

 

 

 

 

P.A.U. Madrid Junio 2000

Dos cargas puntuales e iguales de valor 2 mC cada una, se encuentran situadas en el plano XY en los puntos (0,5) y (0,-5), respectivamente, estando las distancias expresadas en metros.

a) ¿En qué punto del plano el campo eléctrico es nulo?

b) ¿Cuál es el trabajo necesario para llevar una carga unidad desde el punto (l,O) al punto (-1,0)?

Solución:

 

La suma de dos vectores da nulo si tienen el mismo modulo y forman entre sí 180º. En los puntos situados fuera del segmento que une las cargas, segmento AB, el campo no puede anularse pues los campos forman ángulos distintos de 180 º. Sólo puede anularse en el segmento AB.

Como las cargas son iguales, y el campo depende de la distancia del punto a la carga, para que los dos campos sean iguales y opuestos sólo puede suceder en el punto medio del segmento, en este caso el origen de coordenadas (0,0). Si se desea comprobar analíticamente, consideremos un punto genérico del segmento de coordenadas (x,0) y determinemos x para que el campo sea nulo:

Campo creado en P por la carga situada en A:    E = K. q /(5+x)2 

Campo creado en P por la carga situada en B:    E = K. q /(5-x)2 

Los dos campos deben ser iguales en módulo para que su suma vectorial de campo nulo:

K. q /(5+x)2 = K. q /(5-x)2       ®     (5+x)2 = (5-x)2     ®     x = 0

El trabajo para trasladar una carga de un punto a otro del campo es igual al producto de la carga por la diferencia de potencial entre los dos puntos; como en este caso la carga es la unidad el trabajo coincide con la d.d.p.; como el potencial depende de la carga y de la distancia al punto, al ser las cargas iguales y las posiciones relativas de los puntos, con relación a las cargas, iguales, los potenciales son iguales y por tanto el trabajo es nulo:

W = q. ( V1 - V2 )

V1 = K. qA / rA + K. qB /rB = 9.109 . 2.10-3 .( 1 /4 + 1 /6) = 7'5.106 Voltios

V2 = K. qA / rA + K. qB /rB = 9.109 . 2.10-3 .( 1 /6 + 1 /4) = 7'5.106 Voltios

V1 - V2 = 7'5.106 - 7'5.106 = 0    ®   W = 0 Julios

Ir al principio

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Madrid Junio 2002

Se tienen tres cargas en los vértices de un triángulo equilátero cuyas coordenadas, expresadas en cm, son:

A (0,2)   ,   B (-Ö3, -1)   ,   C (Ö3, -1)

Se sabe que las cargas situadas en los puntos B y C son iguales a 2 mC  y que el campo eléctrico en el origen de coordenadas (centro del triángulo) es nulo. Determinar:

a) El valor de la carga situada en el vértice A

b) El potencial en el origen de coordenadas

Solución:

El campo eléctrico a una distancia r de una carga es :

E = [K.Q / r2].u

siendo u el vector unitario en el sentido de la carga al punto

Si el triángulo es equilátero el centro del mismo equidista de los vértices, por lo que el valor de r es el mismo para las tres cargas. Al mismo tiempo los sentidos de los tres campos en el centro del triángulo forman 120º. 

Si el campo total es nulo, si el centro equidista de los vértices y si los campos forman 120º, las tres cargas deben ser iguales; por tanto el valor de la carga situada en el vértice A es de +  2 mC  

El potencial en el centro del triángulo será la suma de los potenciales creados por cada carga:

VO = VO,A + VO,B + VO,C

El potencial en un punto debido a una carga es una magnitud escalar de valor:

V = K.Q / r 

Al tener cada vértice la misma carga, al tener r el mismo valor para cada carga, se deduce que los potenciales creados por cada carga son iguales y de valor:

 VO,A = VO,B = VO,C = K. Q / r = 9.109 .2.10-6 / 0'02 = 900 000 Voltios

VO = 3 . 900000 = 2 700 000 Voltios

Nota: Con los datos de las coordenadas se puede deducir que el triángulo es equilátero y que el centro del triángulo coincide con el centro de coordenadas, por lo  que estos datos son redundantes.

Ir al principio

 

 

 

 

 

 

Disponemos de dos condensadores de 3 y 5 microfaradios cargados a 500 y 700 voltios respectivamente. Permaneciendo cargados se unen las placas del mismo signo. Determinar la d.d.p. que se establecerá y la carga de cada condensador.

La carga de cada condensador independiente es  q = C. V

q1 = C1.V1 = 3.500 = 1500 m C

q2 = C2.V2 = 5.700 = 3500 m C

Al unir los dos condensadores por sus placas del mismo signo, la carga no desaparece ni contrarresta; la carga del condensador equivalente debe ser igual a la suma de cargas:

q = q1 + q2 = 1500 + 3500 = 5000 m C

La capacidad equivalente del conjunto en paralelo es la suma:

C = C1 + C2 = 3 + 5 = 8 m F

La d.d.p. que aparecerá entre las placas de este conjunto será:

V = q / C = 5000 / 8 = 625 Voltios

y la carga de cada condensador será  q = C.V

q'1 = 3. 625 = 1875 m C         q'2 = 5. 625 = 3125 m C

Ir al principio

 

 

 

 

 

Un condensador está formado por dos placas de superficies 120 cm2 y sometidas a una d.d.p. de 200 voltios. Determinar qué fuerza hay que hacer en cada placa para mantenerlas separadas 2 cm.

El campo eléctrico en el interior del condensador se debe a las dos placas y su valor es:  E = s / e 

Pero el campo en la superficie de una placa sólo se debe a la otra placa y su valor es:   E = s / (2e) 

siendo:

                q  carga de la placa o carga almacenada por el condensador

                s  = q / S     densidad superficial de carga

                e  = 1 /(4.p.k)   constante dieléctrica del medio entre las placas

La carga almacenada por el condensador es:   q = C. V

siendo C la capacidad del condensador:  C =  e  . S / d

La fuerza que actúa sobre una placa, debida a la otra, es:

 F = q. E = q. s / (2e) = q2 /(2. S. e) = (C.V)2 /(2. S. e) =  e2  . S2 .V2 / (d2.2. S. e) =  e  . S .V2 / (2.d2)

  F =  e  . S .V2 / (2.d2) = S .V2 / (8.p.k.d2) = 0'012. 2002 / (8. p. 9.199 .0'022) = 5 ' 3 . 10-6 Newtons

Ir al principio

 

 

 

 

 

 

Determinar la relación que existe entre las capacidades de dos condensadores si conectados en serie tiene una capacidad cuatro veces menor que conectados en paralelo.

La capacidad equivalente de dos condensadores en paralelo es:     Cp = C1 + C2 

y en serie:     Cs = 1 / (1/C1 + 1/C2)

Si la capacidad en serie es cuatro veces menor que en paralelo, tenemos:

1 / (1/C1 + 1/C2) = ( C1 + C2 ) /4      ®    4.  C1 . C2 = ( C1 + C2 )2      ®   

 4.  C1 . C2 = C12 + C22 + 2. C1. C2    ®   C12 + C22 -  2. C1. C2 = 0   ®v   ( C1 - C2 )2 = 0   ®   

C1 = C2 

Ir al principio

 

 

 

 

Calcular el campo y el potencial eléctrico producido por un anillo conductor de radio R cargado con una carga Q, en un punto de su eje perpendicular.

Consideremos un elemento del anillo formado por un arco de apertura dq . El valor de ese arco será:

dL = R. dq  

y la carga que contiene será:

dq = Q. dL /(2.p.R) = Q. dq /(2.p

El campo creado por este elemento de carga en un punto z del eje perpendicular es:

dE = k. dq / r2 = k. Q. dq /(2.p. r2

Este campo puede descomponerse en dos vectores: uno en la dirección del eje z y otro perpendicular al anterior; esta ultima componente se anulará con la componente producida por un elemento de carga situado en la posición simétrica en el disco, por lo que sólo interesa la componente en el eje z:

dEz = dE . sen a =  [ k. Q. dq /(2.p. r2) ]. (z / r) =  k. Q. z. dq /(2.p. r3

El campo total producido por el anillo será la integral respecto a q entre 0 y 2.p :

Ez = õ dEz = õ k. Q. z. dq /(2.p. r3) = k. Q. z /  r3 = k. Q. z / (z2 + R2)3/2 

El potencial creado por el elemento de anillo será:

dVz = k. dq /r = k.  Q. dq /(2.p. r) 

El potencial total se obtiene integrando la expresión anterior:

Vzõ k.  Q. dq /(2.p. r) = k. Q / r = k. Q / (z2 + R2)1/2 

Ir al principio

 

 

 

 

Un disco circular de radio R está cargado uniformemente con una densidad de carga s C/m2. Determinar el campo eléctrico y el potencial en un punto del eje perpendicular.

Consideremos un elemento de superficie formado por un sector de apertura dq de una corona circular de radios r y r + dr . El valor de esa superficie será:

dS = r. dq .dr

y la carga que contiene será:

dq = s. dS = s. r. dq .dr

Esta carga creará en un punto, del eje perpendicular, situado a una distancia z, un campo eléctrico de valor:

dE = k. dq /u2

Este campo puede descomponerse en dos vectores: uno en la dirección del eje z y otro perpendicular al anterior; esta ultima componente se anulará con la componente producida por un elemento de carga situado en la posición simétrica en el disco, por lo que sólo interesa la componente en el eje z:

dEz = dE . sen a = (k. dq /u2). (z /u) = k. z. dq /u3 = k. z. s. r. dq .dr /(z2 + r2)3/2 

El campo total será la integral de la expresión anterior desde 0 a 2.p, respecto a q , y desde 0 a R, respecto a la variable r:

Ez = õõdEz = õõk. z. s. r. dq .dr /(z2 + r2)3/2 = k. z. s. 2.p . õr. dr /(z2 + r2)3/2 =  - p .s. k. z. (z2 + r2)-1/2  ]0R 

Ez = p .s. k. z. [z-1 - (z2 + R2)-1/2 ] = p .s. k. [1 - z. (z2 + R2)-1/2 ]

El potencial en el punto debido al elemento de carga es:

dVz = k. dq /u = k. s. r. dq .dr / (z2 + r2)1/2 

el potencial total se obtendrá integrando dos veces entre los mismos límites:

Vz =  k. s. 2.p . õr. dr /(z2 + r2)1/2 =  k. s. 2.p .[(z2 + r2)1/2 ]0R 

Vz =  k. s. 2.p . [ (z2 + R2)1/2 - z ]

Ir al principio

 

 

 

 

Dos cargas de + 12 mC  y  - 18 mC  están separadas 40 cm.  Determinar en qué punto del espacio el campo es nulo.

La suma de dos vectores da nulo si tienen el mismo modulo y forman entre sí 180º. En los puntos como B, C y D el campo no puede anularse pues los campos forman ángulos distintos de 180 º. Sólo puede anularse en el eje que une las cargas y a derecha o izquierda de ellas, no entre ellas. En el punto E no puede ser pues la carga negativa es mayor y genera un campo todavía mayor por estar más próxima al punto. La única posibilidad es en un punto como el A. En A los campos creados por las cargas son opuestos y valen:

E+q = k. 12.10-6 / x2

E-q = k. 18.10-6 / (0'4 + x)2

Para que el campo total sea nulo los dos campos deben ser iguales en módulo:

k. 12.10-6 / x2 = k. 18.10-6 / (0'4 + x)2        ®     12 / x2 = 18 /(0'4 + x)2        ®     x = 1'78 m

El campo se anula a 1'78 m de la carga positiva.

Ir al principio

 

 

En tres vértices de un cuadrado de 40 cm de lado se han situado cargas eléctricas de +125 m C.  Determinar el campo eléctrico en el cuarto vértice y el trabajo necesario para trasladar una carga de - 10 m C desde ese vértice al centro del cuadrado.

El campo producido en D será la suma vectorial de los campos creados por cada carga:

EC = EA = k.q / a2 

EB = k. q / (a2 + a2)

El campo resultante tendrá la dirección y sentido de EB y valdrá:

E = EB + (EA2 + EC2)1/2 = k. q /(2.a2) + (2. k2. q2.  / a4)1/2

E = k. q. (1 / 2 + 21/2) / a2 = 9.109. 125.10-6. (1 / 2 + 21/2) / 0'42 = 1'35.107 N /C

El trabajo para trasladar una carga de un punto a otro es la carga por la d.d.p. entre los puntos:

El potencial en un punto es la suma de los potenciales creados por cada carga:

V(D) =  k. q / a + k . q. /a + k. q. /(a2 + a2)1/2 = + k. q. (2 + 1 / 21/2) / a 

V(D) =  9.109. 125.10-6. (2 + 1 /21/2) / 0'4 =  7613738 Voltios

V(O) =  3. k. q. /( a / 21/2) =  3. 9.109. 125.10-6. 21/2 / 0'4 =  11932427 Voltios

W = q' . (V(O) - V(D)) = - 10.10-6. ( 11932427 - 7613738 ) = 43'2 J

Ir al principio

 

 

Dos cargas eléctricas puntuales de +10 m C  y  - 10 m C están separadas 10 cm. Determinar el campo y potencial eléctrico en el punto medio de la recta que las une y en un punto equidistante 10 cm de las cargas.

En el punto C los campos creados por cada carga son iguales en módulo, dirección y sentido, hacia la carga negativa. El campo total será:

E(C,+q) = E(C,-q) = k.q /(a/2)2 

E(C) = 2. k.q. 4 / a2 = 8.9.109.10.10-6 /0'12 = 7'2  N /C

El potencial será:

V(C) =  k. q / (a/2) + k.(-q) /(a/2) = 0  Voltios

El punto A y las cargas forman un triángulo equilátero. En el punto A, también por igualdad de datos, los módulos de los campos son iguales y sus sentidos los del dibujo y el campo total será paralelo a la recta que une las cargas:

E(A,+q) = E(A,-q) = k.q /a2 

El valor de E(A) resulta ser igual al campo creado por una carga por ser el triángulo equilátero:

E(A) = [E(A,+q)2 + E(A,-q)2 - 2. E(A,+q). E(A,-q).cos 60]1/2 

E(A) = k.q /a2 = 9.109.10.10-6 /0'12 = 9.109  N /C

V(A) = k. q /a  + k. (-q) /a = 0  Voltios

Ir al principio

 

 

 

Dos esferas de 25 gramos están cargadas con idéntica carga eléctrica y cuelgan de dos hilos inextensibles y sin masa de 80 cm de longitud, suspendidos del mismo punto. Los hilos forman 45º con la vertical. Calcular la carga de cada esfera y la tensión del hilo.

La fuerza F que separa las cargas se debe a la repulsión electrostática, pues ambas son del mismo signo.

F = k. q2 / x2 

x = 2. a. sen (q /2)

Si están en equilibrio la suma de la fuerza electrostática y el peso debe tener la dirección de la cuerda:

tg (q /2) = F /p        ®     F = p. tg (q /2) 

k. q2 / x2 = m.g. tg (q /2)        ®      q2 = m. g. x2 .tg (q /2)  / k

q =2.a.sen (q /2).[ m. g..tg (q /2)  / k]1/2  =2. 0'8. sen 45 .[25.10-3.9'8 .tg45 /9.109 ]1/2 = 5'9.10-6  C

F = 9.109 . (5'9.10-6)2 / (2.0'8.sen45)2 = 0'245 N

La tensión del hilo será:

T = R = p / cos(q /2) = 25.10-3 .9'8 / cos45 = 0'35 N

Ir al principio

 

 

Cuatro condensadores iguales de 30 microfaradios se conectan según la figura adjunta. Determinar la capacidad equivalente del conjunto y la d.d.p. a que está sometido y la carga que almacena cada condensador si conectamos los puntos A y B a una d.d.p. de 500 voltios.

Solución:

 

C2 y C3 están en paralelo por lo que su capacidad equivalente es:

C5 = C2 + C3 = 30 + 30 = 60 m F

El resultado, C5, está en serie con C1, por lo que la capacidad equivalente es:

C6 = 1 / ( 1 / C1 + 1 / C5 ) = 1 / ( 1 / 30 + 1 / 60 ) = 60 /3 = 20 m F

El resultado, C6, está en paralelo con C4 por lo que la capacidad equivalente de todo el sistema será:

C = C4 + C6 = 30 + 20 = 50  m F

La relación entre la carga almacenada por un condensador y su d.d.p. es la capacidad del condensador, es decir:   Q = C. (V1 - V2)

La carga total almacenada por el sistema será: Q = 50.500 = 25000 m C

Las cargas almacenadas y la d.d..p. en cada condensador serán:

Q4 = C4.(VA - VB) = 30 . 500 = 15000 m C                      Q6 = C6.(VA - VB) = 20 . 500 = 10000 m C

Como C1 y C5 están en serie cada uno almacena la misma carga que el condensador equivalente:

Q1 = Q5 = Q6 = 10000 m C

VA - VD = Q1 / C1 = 10000 / 30 = 333'3 Voltios                  VD - VB = 500 - 333'3 = 166'7 Voltios

Q2 = C2.(VD - VB) = 30 . 166'7 = 5000 m C                        Q3 = C3.(VD - VB) = 30 . 166'7 = 5000 m C

Ir al principio

 

 

 

Entre dos placas planas existe una diferencia de potencial de 15 V  y la intensidad del campo eléctrico es 30 N /C. Determinar:

a) La separación entre las placas.

b) La aceleración que experimenta una partícula de 5 gramos y carga +2'5.10-9 C situada entre las placas.

c) La variación de la energía potencial al pasar la partícula de una placa a la otra.

De las definiciones de Intensidad de campo y Diferencia de potencial entre dos puntos se infiere que la separación d entre las placas es:

d = (V1 - V2) / E = 15 / 30 = 0'5 m

La fuerza que experimenta una partícula cargada situada en el interior del condensador es:

F = q. E = 2'5.10-9 . 30 = 7'5.10-8 

y su aceleración será:     a = F / m =  7'5.10-8 / 5.10-3 = 1'5.10-5 m /s2 

La variación de energía potencial si la partícula fuera de una placa a la otra sería:

        Ep = q.(V1 - V2) =  2'5.10-9 . 15 = 3'75.10-8  Julios

Ir al principio

 

 

Una partícula de 2 gramos con carga eléctrica de + 50 m C lleva una velocidad horizontal de 40 m/s en el instante en que entra entre las armaduras de un condensador, por su eje central. El condensador plano tiene sus armaduras paralelas a la superficie terrestre, suficientemente extensas, separadas 10 cm, la superior es la positiva, y sometidas  a una d.d.p. de 500 Voltios. Determinar la trayectoria de la partícula y el punto de impacto con la placa, si lo hubiere.

El campo eléctrico uniforme que crea el condensador es:  

E = V / d = 500 / 01 = 5000 N /C

Este campo actúa sobre la partícula provocando una aceleración de valor:

ae = F / m = q. E / m = 50.10-6 .5000 / 2.10-3 = 126  m /s2 

hacia la placa negativa, placa inferior.

Por tanto la partícula se ve sometida a la aceleración de la gravedad y a la aceleración electrostática, siendo la aceleración total vertical, hacia abajo, y de valor:

ay = 9'8 + 125 = 134'8  m /s2 

Las ecuaciones del movimiento, tomando como origen de tiempos y coordenadas el punto de entrada en el condensador, serán:

ax = 0 vx = 40 x = 40. t
ay = - 134'8 vy = - 134'8. t y = - ½. 134'8. t2

ecuaciones que se corresponden a las de un movimiento parabólico, pues la trayectoria es:

y = - ½. 134'8. t2 = - ½. 134'8. (x /40)2 =  - 0,042125. x2 

Para determinar el punto de impacto con la placa basta imponer la condición   y = - 0'05 m

- 0'05 =  - 0,042125. x2      ®     x = (0'05 /0'042125)1/2 = 1'09 m

Ir al principio