Problemas de Física, Bachillerato
Tema: Campo magnético
®
Sea un conductor rectilíneo de longitud infinita por el que circula una corriente de 5 A. Una espira cuadrada de lado 10 cm está colocada con dos lados paralelos al conductor y a una distancia mínima de 3 cm. Por la espira circula una intensidad de 0'2 A. Determinar:
a) Módulo dirección y sentido del campo magnético creado por el conductor rectilíneo en cada uno de los lados de la espira paralelos al conductor.
b ) Módulo, dirección y sentido de la fuerza sobre cada uno de esos lados.
Solución:
El
conductor rectilíneo crea a su alrededor un campo magnético cuyo sentido viene
dado por la regla de la mano derecha, por lo que en el dibujo el campo entraría
en el papel, y su valor es:
B = mo . I / ( 2.p . x )
siendo x la distancia del punto al conductor.
Como por la espira circula una corriente eléctrica, aparecerá una fuerza magnética de valor F = I . ( L ^ B )
Lado QT: Todos sus puntos están a la misma distancia del conductor por lo que el campo magnético en ellos es el mismo y de valor:
B = mo . I / ( 2.p . x ) = 4.p .10-7 . 5 / ( 2.p . 0'03 ) = 3'33.10-5 T
la fuerza será: F1 = 5 . 0'1 . 3'33.10-5 = 1'67.10-5 N
Lado RS: Todos sus puntos están a la misma distancia del conductor por lo que el campo magnético en ellos es el mismo y de valor:
B = mo . I / ( 2.p . x ) = 4.p .10-7 . 5 / ( 2.p . 0'13 ) = 7'69.10-6 T
la fuerza será: F3 = 5 . 0'1 . 7'69.10-6 = 3'84.10-6 N
Lados QR y ST: cada punto está a una distancia diferente del conductor, por lo que en cada punto el campo magnético es distinto, variando desde 3'33.10-5 T en el punto más próximo hasta 7'69.10-6 T en el más lejano.
Para determinar la fuerza sobre estos lados habría que resolver la integral:
P. A. U. Zaragoza Junio 2000
Un
electrón que viaja con velocidad vo = 107 m/s penetra en
la región sombreada de la figura, donde existe un campo magnético
uniforme. Se observa que el electrón realiza una trayectoria semicircular de
radio R = 5 cm dentro de dicha región, de forma que sale en dirección paralela
a la de incidencia, pero en sentido opuesto. Sabiendo que la relación
carga / masa del electrón es 1'76.1011 C/kg, determinar el módulo,
dirección y sentido del campo magnético que existe en esa región.
Solución:
Cuando
un electrón entra en un campo magnético uniforme se ve sometido a una fuerza
que es perpendicular al campo magnético y a la velocidad, obligando a la
carga a describir una trayectoria curva.
F = q . ( V ^ B )
Como el campo magnético es uniforme y la trayectoria es plana, semicircular, el campo magnético tiene que ser perpendicular a la velocidad además de serlo de la fuerza magnética. Por otro lado, al ser la carga negativa la fuerza magnética es opuesta al sentido del producto vectorial V ^ B , por lo que el sentido del campo debe ser hacia adentro.
Esta fuerza magnética es la fuerza centrípeta que obliga a la carga a describir el semicírculo:
F = q. v. B. sen 90 = m. v2 / R ® B = m . v / ( q . R ) = v /( R . q / m )
En este caso:
B = 107 / ( 0'05 . 1'76.1011 ) = 0'0011 Teslas
P.A.U. Madrid Junio 2001
Un electrón que se mueve con una velocidad de 106 m/s describe una órbita circular en el seno de un campo magnético uniforme de valor 0,1 T cuya dirección es perpendicular a la velocidad. Determine:
Datos:
Masa del electrón me= 9,1 · 10-31 kg Valor absoluto de
la carga del electrón e = 1,6 · 10-19 C
Solución:
Cuando un electrón entra en un campo magnético uniforme y normal a su velocidad describe una órbita debido a la fuerza magnética. Hay que tener presente que al ser la carga negativa la fuerza es opuesta a la que experimentaría una carga positiva.
La fuerza magnética es la centrípeta que obliga al electrón a describir la órbita:
F = q. v. B. sen 90 = q. v. B = 1'6.10-19. 1.106. 0'1 = 1'6.10-14 N
F = m. v2 / R ® R = m. v2 / F = 9'1.10-31 .(1.106)2 / 1'6.10-14 = 5'7.10-5 m
El número de vueltas que dará en 0'001 segundos será:
n = v . t / (2.p.R ) = 1.106 . 0'001 / (2.p.5'7.10-5) = 2'8.106 vueltas
P.A.U. Madrid Junio 1997
En una misma región del espacio existen un campo eléctrico uniforme de valor 0,5.104 v. m-1 y un campo magnético uniforme de valor 0,3 T, siendo sus direcciones perpendiculares entre si:
a) ¿Cual deberá ser la velocidad de una partícula cargada que penetra en esa región en dirección perpendicular a ambos campos para que pase a través de la misma sin ser desviada?
b) Si la partícula es un protón, ¿cuál deberá ser su energía cinética para no ser desviado?
Datos: mesa del protón mp = 1,672.10-27 kg
Solución:
Al
entrar una carga q con velocidad v dentro de esta región, se ve sometida a una
fuerza magnética y otra fuerza eléctrica, de sentidos opuestos. Si la carga no
se desvía quiere decir que ambas fuerzas son iguales:
Fe = q . E
Fm = q . v . B . sen 90 = q . v . B
Fe = Fm ® q . E = q . v . B ® v = E / B = 0'5.104 / 0'3 = 1'67.104 m/s
Si la carga fuera un protón, debería llevar una energía cinética de valor:
Ec = m . v2 /2 = 1,672.10-27 . (1'67.104)2 /2 = 2'33.10-19 Julios
Un hilo conductor, situado en el eje X, de 50 cm de longitud transporta una corriente de 0'8 amperios, en el sentido positivo del eje. Determinar la fuerza a que está sometido si existe un campo magnético de valor :
El hilo conductor queda definido por su longitud:
La fuerza sobre el conductor será:
Un protón , tras ser acelerado por una
diferencia de potencial de 25000 voltios, penetra perpendicularmente en un campo
magnético y describe una trayectoria circular de 40 cm de radio. Determinar la
inducción magnética y el radio de la trayectoria si la inducción fuera el
doble.
Supongamos que el protón en reposo es acelerado por la d.d.p. de 25000 V. La variación de energía potencial se transformará en energía cinética:
q. V = ½. m v2
la velocidad que lleva el protón al entrar en el campo magnético es:
v =(2. q. V / m )1/2
En el interior del campo magnético la partícula se ve sometida a una fuerza perpendicular a la velocidad y al campo magnético, fuerza centrípeta, por lo que se ve obligado a describir una circunferencia:
B = 0'4-1.(2.25000.1'67.10-27 / 1'6.10-19)1/2 = 0'057 Teslas
En la expresión que determina la Inducción magnética se observa que es inversamente proporcional al radio, para una velocidad constante, por lo que si la Inducción fuera el doble, el radio de la circunferencia sería la mitad, 20 cm.
Por dos conductores rectilíneos, paralelos e indefinidos circulan corrientes de intensidades una el doble de la otra. Determinar en que puntos el campo magnético resultante es nulo.
Las
líneas del campo magnético forman circunferencias concéntricas al hilo
conductor.
Para que la Inducción magnética total sea nula, las inducciones creadas por cada corriente deben ser iguales y de sentidos opuestos lo que sólo puede suceder en los puntos en donde las circunferencias de las lineas del campo sean tangentes, lo que sólo sucede en el plano que forman los hilos.
Como la Inducción es inversamente proporcional a la distancia los puntos con campo nulo estarán más alejados del hilo con mayor corriente, como sucede en el punto A de la figura. La Inducción magnética en dicho punto será:
B(A) = mo. 2I / [2.p.(d + a)] - mo. I / (2.p. a)
Si la Inducción magnética en el punto debe ser nula:
mo. 2I / [2.p.(d + a)] - mo. I / (2.p. a) = 0 ® 2 / (d + a) = 1 / a ® 2.a = d + a ® a = d
Es decir el conjunto de puntos con Inducción magnética nula es la recta, del plano que forman los conductores, paralela a ellos y a una distancia del conductor con menor corriente igual a la separación entre los conductores.
Un electrón describe una órbita circular en un campo magnético de 0'05 T con una energía cinética de 2'4.103 eV. Determinar la fuerza magnética, el radio, la frecuencia y el período de la órbita.
Cuando
un electrón entra en un campo magnético uniforme y normal a su velocidad
describe una órbita debido a la fuerza magnética. Hay que tener presente que
al ser la carga negativa la fuerza es opuesta a la que experimentaría una carga
positiva.
La velocidad del electrón es:
Ec = ½. m v2 ® v = (2. Ec /m)1/2
v = (2.2'4.103.1'6.10-19 /9'1.10-31)1/2 = 2'9.107 m /s
La fuerza magnética es la centrípeta que obliga al electrón a describir la órbita:
F = q. v. B. sen 90 = q. v. B = 1'6.10-19. 2'9.107. 0'05 = 2'3.10-13 N
F = m. v2 / R ® R = m. v2 / F = 9'1.10-31 .(2'9.107)2 / 2'3.10-13 = 3'3.10-3 m
w = v / R = 2.p /T ® T = 2.p.R / v = 2.p.3'3.10-3 / 2'9.107 = 7'1.10-10 s
f = 1 / T = 1'4.109 Hz ® w = 2.p.f = 8'8.109 rad/s
Un electrón, un protón y una partícula a, núcleo de Helio, penetran perpendicularmente en un campo magnético uniforme. Dibujar sus trayectorias y comparar las fuerzas y aceleraciones a que se ven sometidos.
Supongamos que las tres partículas entran en el campo con la misma velocidad.
La fuerza que ejerce un campo magnéetico sobre una carga en movimiento es perpendicular al campo y a la velocidad lo que obliga a la carga a desviarse de su trayectoria. Si el campo es uniforme y normal a la velocidad la trayectoria se convierte en una circunferencia. Como el vector fuerza depende de la carga, el sentido de giro en la circunferencia dependerá del signo de la carga: si una carga positiva gira a izquierdas, otra negativa girará a derechas. La aceleración y el radio de curvatura dependerán de la masa y carga de la partícula.
Los datos de las partículas en el S.I. son:
| Partícula | m masa | q carga | m /q |
| p protón | mp = 1'27.10-27 | qp = + 1'6.10-19 | mp / qp =1.10-8 |
| e electrón | mp / 1758 | - qp | - (mp / qp) / 1758 |
| a alfa | 4. mp | 2. qp | 2. mp / qp |
La fuerza sobre el electrón es igual y opuesta a la del protón por tener cargas iguales pero de distinto signo.
La fuerza sobre la partícula a es el doble que sobre el protón, pues tiene el doble de carga.
La aceleración sobre la partícula a es la mitad que la aceleración sobre el protón, por tener una relación m/q doble
La aceleración sobre el electrón es 1758 veces superior a la del protón.
El radio de la circunferencia descrita por la partícula a es el doble de la descrita por el protón.
El radio de la circunferencia descrita por el electrón es 1758 veces menor que la del protón.
Por las aristas opuestas de un prisma cuadrangular de lado 1 y de gran altura circulan corrientes de 2'4 A y 1'5 A en sentidos opuestos. Determinar la fuerza por unidad de longitud que se ejercen y el campo magnético en una tercera arista.
El campo magnético creado por un conductor en un punto del otro conductor es:
B = mo .I1 /(2.p.a.21/2)
y la fuerza, en este caso de repulsión, por unidad de longitud:
F / L = I2. B = mo .I1. I2 /(2.p.a.21/2) = 4.p.10-7.1'5. 2'4 /(2.p.1.21/2) = 5'1.10-7 N
Esta fuerza es mutua, es decir, aunque los campos B en cada conductor son distintos, la fuerza es la misma.
El campo magnético en un punto de otra arista como el D será la suma vectorial de los campos creados por cada conductor:
Un
electrón penetra perpendicularmente en un campo magnético uniforme de 3.10-3
T con una velocidad de 1'6.106 m/s. Determinar el radio de la
trayectoria y el campo eléctrico que deberíamos superponer al magnético para
que el electrón describiera un movimiento rectilíneo.
La fuerza que ejerce el campo magnético sobre el electrón es perpendicular a la velocidad y es la fuerza centrípeta que obliga al electrón a describir una circunferencia:
F = q.v.B = m.v2 /R
R = m.v /(q.B)
R = 9'1.10-31.1'6.106 /(1'6.10-19.3.10-3) = 3'03.10-3 m
Para que el electrón describiese un trayectoria rectilínea habría que superponer un campo eléctrico de tal forma que la fuerza eléctrica fuera igual y opuesta a la magnética, por tanto E tendría que ser perpendicular a B y a la velocidad, en el sentido de F:
Fe =q. E
Fm = q. v. B
Fe = Fm ® q. E = q. v. B ® E = v. B
E =1'6.106 . 3.10-3 = 4'8.103 N /C
