Problemas de Física, Bachillerato
Tema: Cinemática
Movimiento libre de un proyectil
Se lanza un proyectil, con velocidad inicial de 20 m/s y formando un ángulo de 60º con la horizontal, desde un plano inclinado 30º, hacia abajo. Determinar el punto de impacto y la velocidad del proyectil.
El
origen de coordenadas lo tomamos en el punto de salida.
Las velocidades iniciales son:
vox = vo . cos a
voy = vo . sen a
Las aceleraciones son:
ax = 0 , ay = - g
Las velocidades en cualquier punto de la trayectoria son:
vx = vo . cos a , vy = vo .sen a - g. t
La posición en cualquier instante es:
x = vo .t. cos a , y = vo .t. sen a - ½ g. t2
La ecuación de la trayectoria será: y = x. tg a - ½ g. [x /( vo .cos a )]2
Ecuación del plano: y = - x. tag q
El punto de impacto será el punto intersección de la trayectoria parabólica con la recta del plano:
- x. tag q = x. tg a - ½ g. [x /( vo .cos a )]2 ® x. ( tg a + tag q ) - ½ g. x2 /( vo2 .cos2 a ) = 0
ecuación con dos soluciones:
punto de salida: x = 0 ® y = 0
punto de impacto: xi = 2. ( tg a + tag q ). ( vo2 .cos2 a ) / g ® yi = - xi. tag q
En este caso:
xi = 2. ( tg 60 + tg 30 ). ( 202 .cos2 60 ) / 9'8 = 47 ' 13 m
yi = - 47'13. tg 30 = - 27 ' 21 m
El tiempo en impactar será: t = xi /( vo . cos a) = 47'13 /(20. cos 60) = 4 ' 713 s
La velocidad en el momento del impacto:
vxi = vo . cos a = 20. cos 60 = 10 m/s
vyi = vo .sen a - g. t = 20. sen 60 - 9'8. 4'713 = - 28 ' 87 m/s
Vi = ( 102 + 28'872)1/2 = 30 ' 55 m/s
Una pelota rueda por un tejado inclinado 30º y sale del alero, situado a 15 m de altura, con una velocidad de 8 m/s. Determinar el punto de impacto con el suelo.
Establecemos los ejes de coordenadas en el punto de salida. Las componentes de la velocidad inicial serán:
vox = vo. cos q , voy = - vo. sen q
La única aceleración que actúa es la ac. de la gravedad, por lo que las ecuaciones del movimiento serán:
ax = 0 ® vx = vox ® x = vox .t
ay = -g ® vy = voy - g . t ® y = voy. t - g .t2 /2
Al llegar al suelo, y = - h , por lo que:
- h = voy. t - g .t2 /2 ® g .t2 - 2.voy . t - 2.h = 0
el tiempo en llegar al suelo será:
t = (2.voy ± (4.voy2 + 4.g.2.h)1/2 ) / (2.g)
t = (voy ± (voy2 + 2.g.h)1/2 ) / g
y la distancia a la pared en el momento del impacto será:
x = vox . (voy ± (voy2 + 2.g.h)1/2 ) / g
en este caso particular:
h = 15 , vox = 8. cos 30 = 6'93 , voy = - 8. sen 30 = - 4
ten llegar al suelo = ( - 4 ± (16 + 2.9'8.15)1/2 ) / 9'8 =1'39 seg. (la solución negativa no vale)
xen el suelo = 6'93 . 1'39 = 9'62 m
Determinar el ángulo de elevación de un cañón para dar en un
blanco.
Sean:
v la velocidad inicial del proyectil
θ el ángulo de elevación
Las ecuaciones del movimiento son:
ax = 0 ® vx = v.cosθ ® x = v.t.cosθ
ay = -g ® vy = v.senθ ® y = v.t.senθ - g.t2 /2
La ecuación de la trayectoria será:
t = x / (v.cosθ) ® y = v.x.senθ / (v.cosθ) - g.[x / (v.cosθ)]2 /2
y = x.tgθ - g.[x2 / (v2 .cos2 θ)] /2
y = x.tgθ - g.x2.(1 + tg2 θ) /(2.v2)
El ángulo de elevación en función de un punto cualquiera de la trayectoria será:
tg2 θ . g.x2 /(2.v2) - x.tgθ + y +g.x2/(2.v2) = 0
tgθ = [v2 " [v4 - g.(2.v2.y + g.x2 )]1/2] / (g.x)
θ = arc tg [v2 " [v4 - g.(2.v2.y + g.x2 )]1/2] / (g.x)
El blanco debe pertenecer al dominio del cañón. El dominio del cañón, conjunto de puntos a los que puede
alcanzar, es el conjunto de puntos tales que existe la raíz, es decir el
radicando es mayor o igual a cero:
D = {œ (x,y) / v4 $ g.(2.v2.y + g.x2 )}
El máximo alcance horizontal (y=0) es v2/g que se consigue para un ángulo de:
θ = arc tg [v2 " [v4 - g.g.(v2 /g)2 ]1/2] / (g.v2 /g) = arc tg 1 = 451
Cualquier punto del dominio puede ser alcanzado por dos ángulos de elevación, que sólo son complementarios cuando y=0, :
θ1 = arc tg [v2 + [v4 - g.(2.v2.y + g.x2 )]1/2] / (g.x)
θ2 = arc tg [v2 - [v4 - g.(2.v2.y + g.x2 )]1/2] / (g.x)
Si y=0 ® tg θ1 . tg θ2 = 1, por lo que θ1 + θ2 = 901
Para acceder a un pueblo, P, la única posibilidad es dejar el coche en una carretera recta, A, y caminar campo a través hasta el pueblo. La mínima distancia entre el pueblo y la carretera, PB, es 2.000 m; la velocidad en coche es 20 m/s y andando 1'5 m/s. ¿ En qué punto de la carretera hay que dejar el coche y continuar andando para que el tiempo empleado en llegar al pueblo sea mínimo ?.
Sean
v1 la velocidad en el tramo OA y v2 la velocidad
en el tramo AP
El tiempo empleado en hacer el trayecto OAP será:
t = x / v1 + d / v2 = x / v1 + [b2 + (a - x)2]1/2 / v2
Si el tiempo empleado debe ser mínimo, la derivada del tiempo debe ser cero:
dt / dx = 0 ® 1 / v1 - (a - x) / [v2 . [b2 + (a - x)2]1/2 ] = 0 ® v1 .(a - x) = v2 . [b2 + (a - x)2]1/2
v12 .(a - x)2 = v22 .[b2 + (a - x)2] ® (a - x)2 = v22 .b2 / (v12 - v22)
a - x = v2.b / (v12 - v22)1/2
En este caso particular: b = 2000, v1 = 20, v2 = 1'5
a - x = 1'5 . 2000 / (202 - 1'52)1/2 = 150'4 m
se debe dejar el coche 150'4 metros antes del punto B
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Un nadador nada con una velocidad de 2 m/s, perpendicularmente a la orilla de un río de anchura 25 metros. Al mismo tiempo la corriente le arrastra con una velocidad de 3 m/s. Determinar el tiempo en cruzar el río y el desplazamiento producido.
Sean:
v1 = 2, velocidad constante del nadador
v2 =3, velocidad constante de la corriente
La velocidad total del nadador será la suma vectorial de las velocidades componentes, es decir:
v = (v12 + v22)1/2 = (22 + 32)1/2 = 3'6 m/s , constante.
Al ser la velocidad constante, el movimiento es uniforme rectilíneo, por lo que salió de A y llegará al punto C.
Los triángulos ABC y el formado por las velocidades son semejantes por lo que los lados son proporcionales:
d / v2 = h / v1 ® d = h.v2 / v1 ®
d = 25. 3 / 2 = 37'5 m de desplazamiento respecto a la vertical.
El espacio total recorrido por el nadador será:
e = (h2 + d2)1/2 = (252 + 37'52)1/2 = 45'07 m
y el tiempo empleado en recorrerlo será:
t = e / v = 45'07 / 3'6 = 12'5 seg
Como puede comprobarse tarda lo mismo en cruzar el río haya o no corriente de arrastre perpendicular.
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