Problemas de Física, Bachillerato
Tema: Dinámica
| Paracaídas | Péndulo ideal |
| Montaña rusa | Molino |
| Bajada y subida | Explosión |
| En dos planos | Péndulo balístico |
Una bala de 5 gramos lleva una velocidad de 400 m /s , choca y se empotra contra un bloque de madera de 5 Kg, suspendido formando un péndulo. Determinar la altura a que se elevará el bloque después del impacto y la fuerza resistente de la madera a la penetración si la bala penetró 12 cm.
Por ser un choque inelástico se cumple el teorema de conservación de la cantidad de movimiento, pero no se cumple el de conservación de la energía. Sea v1 la velocidad del bloque con la bala justo después del impacto:
S (mi.vi)]antes = S (mi.vi)]después ® m. v = (m + M). v1
® v1 = v. m /(m + M) = 400. 0'005 / (0'005 + 5) = 0'4 m /s
A partir de este momento, debido al impulso recibido, el bloque con la bala se eleva, conservando su energía, por lo que la energía en el punto más alto es igual a la energía de salida:
Esalida = Epunto más alto ® ½. (m + M). v12 = (m + M).g. h
® h = ½. v12 /g = [ v. m /(m + M)]2 /(2g) = [ 400. 0'005 /(0'005 + 5)]2 /(2.9'8) = 0'0081 m
Durante el choque, la pérdida de energía se invierte en penetrar la bala en el bloque:
Eantes del choque - Edespués del choque = W ® ½. m. v2 - ½. (m + M). v12 = W = F. e
® F = [½. m. v2 - ½. (m + M). v12 ] / e = [½. m. v2 - ½. (m + M). [v. m /(m + M)]2 ] / e
F = ½. m. v2 . [ 1 - m /(m + M) ] / e = ½. m. v2 / [e.(m + M) ]
F = ½. 0'005. 4002 / [0'12.(0'005 + 5) ] = 660 N
La fuerza por unidad de longitud será: F/L = 660 / 0'12 = 5500 N /m
Un cuerpo de 60 Kg está en reposo sobre un plano inclinado 60º y está unido mediante una cuerda sin masa a otro cuerpo de 70 kg que está en un plano inclinado 30º. Si el coeficiente de rozamiento en ambos planos es 0'1, determinar la aceleración del sistema.
En
cada cuerpo las fuerzas existentes son:
el peso, P
la reacción del plano, R
la fuerza de rozamiento, Fr
La reacción del plano, R , es igual a la componente normal del peso, N :
R1 = N1 = P1. cos a = 60. 9'8. cos 60 = 294 N
R2 = N2 = P2. cos b = 70. 9'8. cos 30 = 594 ' 1 N
El sentido del movimiento, si se mueve, vendrá dado por la mayor de las componentes tangenciales de los pesos, en este caso hacia la izquierda:
T1 = P1. sen a = 60. 9'8. sen 60 = 509 ' 2 N
T2 = P2.sen b = 70. 9'8. sen 30 = 343 N
Las fuerzas de rozamiento son:
Fr1 = m . N1 = 0'1. 294 = 29 ' 4 N
Fr2 = m . N2 = 0'1. 594'1 = 59 ' 41 N
La fuerza total que actúa sobre el sistema será:
F = T1 - ( T2 + Fr1 + Fr2 ) = 509'2 - ( 343 + 29'4 + 59'41 ) = 77 ' 39 N
La aceleración del movimiento será:
a = F / M = 77'39 / (60 + 70) = 0 ' 595 m /s2
Un objeto de 4 kg de mas, inicialmente en reposo, estalla en tres fragmentos de masas 2 kg, 1 kg, y 1 kg. El bloque de 2 kg sale con velocidad de 600 m/s y los otros formando 30º y -45º con relación al primero. Determinar sus velocidades.
Al no
existir ninguna fuerza exterior, la cantidad de movimiento debe permanecer
constante e igual a cero pues antes de estallar el sistema está en reposo.
Según el eje X:
m1.v1. cos 30 + m2.v2. cos 45 - mo.vo = 0
v1. cos 30 + v2. cos 45 =2.600= 1200
Según el eje Y:
m1.v1. sen 30 + m2.v2. sen 45 - mo.0 = 0
v1. sen 30 + .v2. sen 45 = 0
Resolviendo el sistema se obtiene:
v1 = 878 m /s v2 = 621 m /s
Las aspas de un molino son uniformes de masa 200 kg y de longitud 7 m. Sus extremos giran a una velocidad máxima de 36 Km /h. Determinar la fuerza que deben soportar los pernos de unión al eje.
La
fuerza que soportan los pernos que sujetan el aspa al eje será la fuerza
centrípeta que la obliga a girar más la acción del peso.
Sea r la densidad lineal del ala: r = m /L
Consideremos la fuerza centrípeta sobre un diferencial de masa e integremos para todo el ala:
La fuerza máxima será cuando el aspa esté en la vertical inferior: F = Fc + m.g
Un móvil parte con velocidad inicial V0 y está sometido a una aceleración constante, g, y a un rozamiento proporcional y opuesto a la velocidad. Determinar las ecuaciones del movimiento.
La ecuación de la aceleración será: MV/Mt = g - k.V
cuya solución es: V = a.e -b.t + c
siendo a, b, c constante a determinar según condiciones iniciales:
M
V/Mt = - a.b.e -b.t = g - k.(a.e -b.t + c)a.b = k.a ® b = k
g = k.c ® c = g/k
®
V = a.e - k.t + g/kAl inicio, t=0, la velocidad es V = V0 ® V0 = a + g/k
® V = V0.e -k.t + g.(1 - e -k.t ) /k
® V = g / k + e -k.t .(V0 - g/k)
Si no hay rozamiento, k=0, entonces la solución coincide con V = V0 + g.t , pues
Lím k60 (1-e -k.t )/k = t
Dos masas m1 , m2 están unidas por una cuerda inextensible y sin masa de longitud L, y están colocadas sobre un cilindro de radio r. Determinar la posición de equilibrio y las ecuaciones del movimiento.
Cada masa está sometida a su propio peso p y a la reacción R del cilindro. Se descompone el peso en la dirección del radio y la tangente.
Si la longitud de la cuerda es L ® L = b .r
R1 = m1.g.senq T1 = m1.g.cosq
R2 = m2.g.sen(p - (q + b )) T2 = m2.g.cos(p - (q + b )) = - m2.g.cos (q + b )
Si están en equilibrio:
T1 = T2 ® m1.g.cosq = - m2.g.cos (q + b ) ®
La aceleración del movimiento, suponiendo T2 > T1, será la fuerza resultante dividido entre la masa total que se mueve; es decir:
a = - g.(m2.cos(q +b ) + m1.cosq )/(m1 + m2)
Determinar las ecuaciones del movimiento de un péndulo ideal de masa m y longitud r.
El péndulo es un sistema que gira, por tanto podemos aplicar la ecuación de la dinámica de rotación: el momento total de las fuerzas es igual a la variación del momento de la cantidad de movimiento en la unidad de tiempo.
El momento total, M, de las fuerzas sólo se debe al peso, pues la reacción está aplicada en el punto de giro y su momento es cero. Por otro lado, la velocidad es tangente a la trayectoria.
x = r · sen q
y = r · cos q
La ecuación quedará:
si suponemos oscilaciones pequeñas, senq » q , la expresión anterior puede aproximarse a la ecuación del movimiento armónico:
de solución: q = A· sen (w .t - f )
siendo: A Amplitud del movimiento, a determinar según las condiciones iniciales
f Desfase, a determinar según condiciones iniciales
w Pulsación cuyo valor es w = (g/r)1/2
El período del péndulo será:
T = 2.p / w = 2.p.(r / g)1/2
Problema 5: Un tren de longitud l y masa por unidad de longitud d, desciende sin impulsarse y sin rozamientos por un plano inclinado constante. Al llegar al plano horizontal su velocidad es v0. Determinar las ecuaciones del movimiento a partir de este momento.
El peso del la parte del tren situado en el plano horizontal no influye en el movimiento. Del peso de la parte del tren situado en el plano sólo influye la componente tangencial.
Denominamos q a la longitud de tren en el plano. Utilizamos la coordenada q en el sentido del plano.
El peso estará aplicado en el c.d.g. de coordenadas q/2 y su valor será: q.d.g
El valor de T será : T = - q.d.g.senq (el signo – se debe a que es opuesto al sentido positivo del eje)
Aplicando la ley de Newton: F = m.a ® - q.d.g.senq = l.d.q’’
La solución de esta ecuación es del tipo: q = A.sen wt + B.cos wt
Siendo w = (g.senq /l)1/2 y A y B constantes a determinar según las condiciones iniciales:
Para t = 0 , q = l, v = v0 :
l = A.sen0 + B.cos0 ® B = l
vo = A.w.cos 0 – B.w.sen 0 ® A = vo/w
La solución es:
Una bola se mueve por un plano con una velocidad de 5 m/s y choca elásticamente con otra bola igual en reposo. Como consecuencia del impacto la bola se desvía 30º. Determinar las velocidades de las bolas después del choque.
Por ser
un choque se conserva la cantidad de movimiento, y por ser elástico se conserva
la energía.
Denominamos k a la relación entre las masas de la bolas: k = m1 / m2
Conservación de la cantidad de movimiento vertical:
0 = m2 . v2 . senq - m1 . v1 . sena -> v2 . senq = k . v1 . sena (1)
Conservación de la cantidad de movimiento horizontal:
m1.vo = m1.v1.cos
a + m2.v2.cosq -> k.vo = k.v1.cosa + v2.cosq (2)Conservación de la energía cinética:
m1.vo2 = m1.v12 + m2.v22 -> k.vo2 = k.v12 + v22 (3)
Conjunto de tres ecuaciones con siete variables por lo que se necesitan cuatro datos. Generalmente son datos conocidos m1 , m2 , vo , y un ángulo de salida.
de (1) -> sena = v2.senq /(kv1) -> cosa = [1 – v22.sen2 q /(k2.v12)]1/2
sustituyendo en (2) -> (k.vo – v2.cosq )2 = k2.v12 – v22.sen2 q ->
k2.vo2 + v22.cos2q - 2.k.vo.v2. cosq = k2.v12 – v22.sen2q
teniendo en cuenta (3):
k2.v12 + k.v22 + v22 - 2.k.vo.v2. cosq = k2.v12
k.v22 + v22 - 2.k.vo.v2. cosq = 0
(4)
sustituyendo (4) en (3) y despejando v1:
(5)
sustituyendo (4) y (5) en (1):
k.vo. .[1- 4.k.cos2 q /(k+1)2 ]1/2 .sena = 2.k.vo.cosq .senq /(k+1)
de donde se deduce:
(6)
En este caso m1 = m2 -> k = 1 , por lo que sustituyendo en (4), (5) y (6) y simplificando se obtiene:
v2 = vo.cosq
v1 = vo.senq
sena = cosq -> a + q = 90º
como en este caso a = 30º y vo = 5 , se obtendrá:
q = 90 - 30 = 60º v2 = 5.cos 60 = 2'5 m/s v1 = 3.sen 60 = 4'33 m/s
Calcular el radio de la órbita de un
satélite geoestacionario.
Masa de la tierra M = 6.1024 kg
Velocidad de giro de la tierra w = 1 vuelta/día = 7'27.10-5 rad/s
masa del satélite m
Radio de la órbita del satélite R
Los satélites giran alrededor de la tierra obligados por la fuerza de atracción gravitatoria que es por tanto la fuerza centrípeta, pero además, por ser geoestacionario debe permanecer sobre la misma posición vertical de la tierra, es decir: debe girar con la misma velocidad angular que la tierra, 1 vuelta al día.
Fatracción = G.M.m / R2
Fcentrípeta = m.v2 / R = m.w2.R
Fatracción = Fcentrípeta -> G.M.m / R2 = m.w2.R
Despejando R: R = (G.M / w2)1/3
R = [6'67.10-11.6.1024/(7'27.10-5)2]1/3 = 4'23.107 m -> R = 42300 Km
Desde que altura hay que dejar deslizar un objeto, sin rozamientos, para que pase un lazo de 5 metros.
El punto
más dificil de la trayectoria es el C. Para que pueda pasar sin problemas el
peso debe ser menor que la fuerza centrípeta:
m.g £ m.v2 /R ® vC ³ ( g.R )1/2
Como no hay rozamientos, la energía permanece constante a lo largo de la trayectoria:
EA = EB = EC
m . g . h = ½ . m .vC2 + m . g . 2R ® h = ½ .vC2 /g + 2.R ³ ½ .g.R /g + 2.R = 5.R /2
Se deja caer un cuerpo de 3 kg. por un plano inclinado 60º y desde una altura de 10m. Al llegar abajo, el plano asciende formando 30º. En ambos planos el coeficiente de rozamiento es 0'2. Determinar a qué altura llegará en el segundo plano.
Sean
d1 y d2 el espacio recorrido en cada plano:
d1 = h1 / senq1
d2 = h2 / senq2
Cada fuerza de rozamiento será el coeficiente de rozamiento por la componente normal del peso:
Fr1 = m . N1 = m . m.g. cos q1
Fr2 = m . N2 = m . m.g. cos q2
La energía mecánica perdida por el cuerpo es igual al trabajo de las fuerzas resistentes.
[½ . m.v2 + m.g.h]A - [½ . m.v2 + m.g.h]B = Fr1 . d1 + Fr2 . d2
En A, punto de salida, y en B, punto de llegada, la energía cinética es cero, al serlo la velocidad.
m.g.h1 - m.g.h2 = m . m.g. cos q1.h1 / senq1 + m . m.g. cos q2 .h2 / senq2
h1 - h2 = m .h1 / tg q1 + m . .h2 / tg q2
h2 = h1. (1 - m / tg q1 ) / (1 + m / tg q2 )
En este caso: h2 = 10. (1 - 0'2 / tg 60 ) / (1 + 0'2 / tg 30 ) = 6'57 m
