Problemas de Física, Bachillerato

Tema: Electrodinámica

     ®       

Dos pilas de f.e.m. y resistencias internas diferentes se conectan en paralelo para formar un único generador. Determinar la f.e.m. y resistencia interna equivalentes.

Denominamos E_i a las f.e.m. de las pilas y r_i a sus resistencias internas.

Conectamos una resistencia de carga R y calculamos, aplicando Kirchhoff, la intensidad que pasa por ella, que debe ser igual a la del circuito equivalente.

 Suponemos que las intensidades de las mallas van en sentido horario. En cada malla la suma de las f.e.m. de las pilas es igual a las caídas de tensión en las resistencias:

E₁ - E₂ = I₁. r₁ + (I₁ - I). r₂      ®       E₁ - E₂ = I₁. (r₁ +  r₂) - I. r₂ 

E₂ = I. R + (I - I₁). r₂     ®      E₂ = I. (R + r₂) - I₁. r₂ 

despejando I₁ de la primera ecuación y sustituyendo su valor en la segunda:

I₁ = ( E₁ - E₂ + I. r₂ ) / (r₁ +  r₂)    ®      E₂ = I. (R + r₂) - r₂ .( E₁ - E₂ + I. r₂ ) / (r₁ +  r₂)  

agrupando términos, teniendo presente que la solución debe quedar como si existiese un solo generador, es decir  E = I. (R + r )  :

E₂ + r₂.(E₁ - E₂) /(r₁ +  r₂) = I. [ R + r₂ - r₂² / (r₁ +  r₂) ]

( E₂.r₁ + E₂.r₂ + E₁.r₂ - E₂.r₂ )/(r₁ +  r₂) = I. [ R + ( r₁.r₂ + r₂² - r₂² )/ (r₁ +  r₂) ]

( E₂.r₁ + E₁.r₂ )/(r₁ +  r₂) = I. [ R +  r₁.r₂ / (r₁ +  r₂) ]

( E₂.r₁.r₂ /r₂  + E₁.r₂.r₁ /r₁ )/(r₁ +  r₂) = I. [ R +  r₁.r₂ / (r₁ +  r₂) ]

( E₂/r₂  + E₁ /r₁ ).r₂.r₁/(r₁ +  r₂) = I. [ R +  r₁.r₂ / (r₁ +  r₂) ]

Es decir, el conjunto se comporta como un generador de resistencia interna igual a la resistencia equivalente del paralelo de las resistencias internas, y de f.e.m. el producto de la resistencia interna total por la suma de los resultados de dividir cada f.e.m. por su resistencia interna. Si algún generador se conectase intencionadamente o por error de forma antiparalelo, las expresiones siguen siendo válidas sin más que considerar esa f.e.m. como negativa.

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Las aristas de un tetraedro son resistencias iguales de R ohmmios. Determinar la resistencia equivalente entre dos vértices.

a) Aplicando criterios de simetría:

La corriente al llegar al nudo A se va a repartir por las ramas AD, AB y AC; por simetría del circuito, la dificultad que presenta la rama AB es igual a la que presenta la rama AC, por lo que la corriente por esas ramas va a ser la misma, el potencial en el nudo B va a ser igual al del nudo C, por lo que la rama BC es como si no existiera ya que por ella no va a pasar corriente: las aristas AB y BD están en serie (2.R) y las aristas AC y CD también están en serie (2.R), y ambos conjuntos en paralelo con la arista AD, por lo que la resistencia equivalente del tetraedro es:

R = 1 / ( 1 /2R + 1 /2R + 1 /R) = R /2

b) Por  Kirchhoff:

Si conectamos una piila de f.e.m. V al tetraedro, el sistema es equivalente al circuito de la figura. Suponemos que las intensidades de las mallas van en sentido horario. En cada malla la suma de las f.e.m. de las pilas es igual a las caídas de tensión en las resistencias:

0 = R.I₁ + R.(I₁ - I₂) + R.(I₁ - I₃)     ®       0 = 3.R. I₁ - R. I₂ - R. I₃ + 0. I₄ 

0 = R.I₂ + R.(I₂ - I₃) + R.(I₂ - I₁)     ®       0 = - R. I₁ + 3.R. I₂ - R. I₃ + 0. I₄ 

0 = R.(I₃ - I₁) + R.(I₃ - I₂) + R.(I₃ - I₄)     ®       0 = - R. I₁  - R. I₂ + 3.R. I₃ - R. I₄ 

V = R.(I₄ - I₃)     ®       V = 0. I₁  + 0. I₂ - R. I₃ + R. I₄ 

Resolviendo el sistema formado por las cuatro ecuaciones se obtiene:

(I₁, I₂, I₃, I₄). R. A = (0, 0, 0, V),      siendo:

multiplicando por la derecha por la matriz inversa A^-1 y dividiendo entre R se obtiene:

(I₁, I₂, I₃, I₄). R. A. A^-1 /R = (0, 0, 0, V). A^-1 /R     ®       (I₁, I₂, I₃, I₄) = (0, 0, 0, V). A^-1 /R

I₁ =  V /(2.R)   ,   I₂ = V /(2.R)   ,   I₃ = V /R   ,   I₄ = 2. V /R

La resistencia equivalente es la relación entre el voltaje de la pila y la intensidad que proporciona la pila, es decir:

R_equivalente = V /I₄ = R /2

La intensidad por la arista AB es   I₁ = V /(2.R) 

La intensidad por la arista AC es   I₃ - I₁ = V /R  - V /(2.R) = V /(2.R) 

La intensidad por la arista BC es   I₁ - I₂ = V /(2.R) - V /(2.R) = 0

La d.d.p. entre B y C es    V_B - V_C = 0, sea cual fuere el valor de la f.e.m. de la pila.

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Una línea de conducción eléctrica, formada por dos hilos conductores paralelos de 100 km de longitud y 150 ohmmios de resistencia cada uno, tiene una derivación en un punto determinado. Para averiguar el punto de derivación se desconecta la carga conectada a la línea y se mide su resistencia, resultando ser 240 ohmmios; después se cortocircuita la línea y su resistencia es 200 ohmmios. Determinar el punto de la derivación.

Sean R la resistencia de la derivación, R₁ y R₂ las resistencias del hilo desde el inicio hasta la derivación y desde allí hasta el final.

La resistencia de cada hilo será:

R₁ + R₂ = 150    [1]

Si se quita la carga la resistencia de toda la línea será:

2. R₁ + R = 240     [2]

Si se cortocircuita el extremo, la resistencia será:

2. R₁ + R. 2. R₂ /(R + 2.R₂) = 200   ®     R₁ + R. R₂ /(R + 2.R₂) = 100      [3]

Resolviendo el sistema formado por las tres ecuaciones se obtiene:

[2]    ®       R₁ = (240 - R) /2   ®      [3]   ®      (240 - R) /2 + R. R₂ /(R + 2.R₂) = 100  ® 

2. R. R₂ = (R - 40).(R + 2.R₂)   ®       0  = R² - 40. R - 80.R₂   ®     R₂ = (R² - 40.R) /80

Sustituyendo R₁ y R₂ en [1]:

(240 - R) /2 + (R² - 40.R) /80 = 150   ®     40.(240 - R) + R² - 40.R = 12000   ®     R² - 80.R - 2400 = 0

   ®     R = 103 ' 25 ohmmios      R₁ = 68 ' 38 ohmmios       R₂ = 81 ' 62 ohmmios

Como la resistencia de un hilo es proporcional a su longitud:

68'38 / x = 150 /100   ®     x = 68'38. 100 /150 = 45 ' 59 km

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Determinar la diferencia de potencial en los bornes de cada resistencia del circuito de la figura:

Suponemos que las intensidades de las mallas van en sentido horario. En cada malla la suma de las f.e.m. de las pilas es igual a las caídas de tensión en las resistencias:

12 + 16 = 2. I₁ + 6. (I₁ - I₂) + 8. (I₁ - I₃)     ®       

28 = 16. I₁ -  6. I₂ - 8. I₃      ®       7 = 4. I₁ -  6. I₂ - 2. I₃

-14 - 16 = 4. I₂ + 10. (I₂ - I₃) + 6. (I₂ - I₁)     ® 

 - 30  = 20. I₂ - 10.  I₃ - 6. I₁      ®       - 15  = 10. I₂ - 5.  I₃ - 3. I₁

18 = 8. (I₃ - I₁) + 10. (I₃ - I₂)     ®       

18 = 18. I₃ - 8. I₁ -10. I₂      ®       9 = 9. I₃ - 4. I₁ -5. I₂

Resolviendo el sistema formado por las tres ecuaciones se obtiene:

I₁ = 5 /12 A          I₂ = - 13 /12 A          I₃ = 7 /12 A

el signo negativo significa que el sentido real de la corriente en la segunda malla es antihorario.

La diferencia de potencial en bornes de cada resistencia será la intensidad que circula por ella por su valor resistivo:

V_A - V_B = 2. 5/12 = 5 /6 V

V_B - V_G = 6. (5 /12 + 13 /12) = 9 V

. . .

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Determinar la resistencia equivalente entre dos vértices extremos de un cubo si en cada arista hay una resistencia R

A) Por simetría:

         I_a = I_b = I_c = I/3, I_d = I_e = I_a/2 = I/6, I_j = I_f = I_k = I/3

    Por tanto:

        E = I.R_equivalente = I_a.R + I_d.R + I_j.R = I.R/3 + I.R/6 + I.R/3 = I.R.5/6       ®       R_equivalente = R.5/6

B) Por Kirchoff;

    0) E = (I₆ - I₄ + I₁).R + (I₆ - I₄).R + (I₆ - I₃).R      ®       E/R = 1.I₁ + 0.I₂ - 1.I₃ - 2.I₄ + 0.I₅ + 3.I

    1) 0 = I₁ .R + (I₁ - I₂).R + (I₁ - I₅).R + (I₁ - I₄ + I₆).R     ®       0 = 4.I₁ - 1.I₂ + 0.I₃ - 1.I₄ - 1.I₅ + 1.I

    2) 0 = I₂ .R + (I₂ - I₃).R + (I₂ - I₅).R + (I₂ - I₁).R     ®       0 = -1.I₁ + 4.I₂ - 1.I₃ + 0.I₄ - 1.I₅ + 0.I

    3) 0 = (I₃ - I₆).R + (I₃ - I₄).R + (I₃ - I₅).R + (I₃ - I₂).R     ®        0 = 0.I₁ - 1.I₂ + 4.I₃ - 1.I₄ - 1.I₅ - 1.I

    4) 0 = (I₄ - I₆).R + (I₄ - I₆ - I₁).R + (I₄ - I₅).R + (I₄ - I₃).R       ®        0 = -1.I₁ + 0.I₂ - 1.I₃ + 4.I₄ - 1.I₅ - 2.I

    5) 0 = (I₅ - I₃).R + (I₅ - I₄).R + (I₅ - I₁).R + (I₅ - I₂).R     ®       0 = -1.I₁ - 1.I₂ - 1.I₃ - 1.I₄ + 4.I₅ + 0.I

La matriz de coeficientes y su inversa son:

A		A-1
1 4 -1 0 -1 -1 0 -1 4 -1 0 -1 -1 0 -1 4 -1 -1 -2 -1 0 -1 4 -1 0 -1 -1 -1 -1 4 3 1 0 -1 -2 0		0'2 0'4 0'8 1 0'6 1'2 0'45 0'275 0'3 0'375 0'35 0'2 0'275 0'55  0'475 0'5  0'45 0'4 0'3 0'475 0'95 0'875 0'65 0'8 0'375  0'5 0'875 1'25 0'75 1 0'35 0'45 0'65 0'75 0'8 0'6

Resolviendo vectorialmente el sistema, quedará:

(E/R, 0, 0, 0, 0, 0) = (I₁, I₂, I₃, I₄, I₅ , I) . A     ®       (E/R, 0, 0, 0, 0, 0) . A^-1 = (I₁, I₂, I₃, I₄, I₅ , I) . A . A^-1

      ®        (I₁, I₂, I₃, I₄, I₅ , I) = (E/R, 0, 0, 0, 0, 0) . A^-1

I₁ =0'2.E/R     I₂ = 0'4.E/R     I₃ = 0'8.E/R     I₄ = E/R     I₅ = 0'6.E/R     I = 1'2.E/R

R_equivalente = E/I = E/(1'2.E/R) = R/1'2 = 5R/6    

 E/R = 5.I/6

I₁ =I/6     I₂ = 2.I/6     I₃ = 4.I/6     I₄ = 5.I/6     I₅ = 3.I/6

I_a = I₅ - I₁ = I/3 I_d = I₅ - I₂ = I/6 I_e= I₂ - I₁ = I/6

I_b = I₄ - I₅ = I/3 I_h = I₃ - I₅ = I/6 I_i = I₄ - I₃ = I/6

I_c = I + I₁ - I₄ = I/3 I_g = I - I₄ = I/6 I_l = I₁ = I/6

I_f = I₂ = I/3 I_j = I₃ - I₂ = I/3 I_k = I - I₃ = I/3

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Una bobina de coeficiente de autoinducción L y resistencia interna r está en paralelo con un condensador C. El conjunto anterior está conectado en serie con una resistencia R. Determinar la impedancia del circuito y el desfase que produce.

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Un circuito  está formado por una resistencia de 100 W, un condensador de 30 m F y una bobina de 2 H, conectados en paralelo. Determinar su frecuencia de resonancia y la potencia media disipada cuando el circuito se conecta a un generador de f.e.m. máx de 100 V y frecuencia 50 Hz.

En paralelo, la admitancia total es la suma de admitancias; utilizando notación compleja ( j = (-1)^1/2 ) :

A_R = 1 /Z_R = 1 /R

A_C = 1 /Z_C = 1 / [- j /(C.w)] = j. C. w

A_L = 1 /Z_L = 1 / (j. L. w) = - j /(L.w)

A = A_R + A_C + A_L = 1 /R + j.[ C.w - 1 /(L.w)]

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Una bobina de 0'5 henrios está en serie con una resistencia de 20 ohmmios. Determinar la intensidad después de 0'05 segundos de conectar un generador de 24 voltios.

V = L. dI /dt + I. R

V - I.R = L. dI /dt

(V /R) - I = (L /R) . dI /dt

(R /L). dt = dI /[(V /R) -I]

integrando, siendo k una constante de integración:

(R /L). t = - ln [(V /R) -I] + k

En el instante inicial, t = 0, es tan grande la oposición que ejerce la bobina que I = 0     ®       k = ln (V /R)

(R /L). t = - ln [(V /R) -I] +  ln (V /R)    ®      ln { [(V /R) -I] / (V /R) } = - (R /L). t

(V /R) - I = (V /R). e^-(R/L).t      ®    I = (V /R). ( 1 - e^-(R/L).t )    ,    I_o = V /R

Al cabo de 0'05 s, la intensidad será:

R / L = 20/0'5 = 40  s^-1   ®    I = (24 /20).( 1 - e^-40.0'05 ) = 0'16 A

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Se conecta una pila de 12 voltios a un condensador descargado de 100 microfaradios, mediante una resistencia en serie de 500 hmmios. Calcular la intensidad al cabo de 0'1 seg.

C = dq /dV =(dq /dV).(dt /dt) = I. dt /dV

dV = I. dt /c

V_A -V_B = (1 /C). òI dt

V_B - V_D = I. R 

V = (V_A - V_B) + (V_B - V_D)

V = (1 /C). òI dt +  I. R 

derivando respecto al tiempo, V es constante:

0 = I / C  + R. dI /dt     ®       dI / I = - (1 /(R.C)) . dt

integrando, k es una constante de integración:

ln I = - t /(R.C) + k     ®       I = e^{- t /(R.C) + k}

al inicio, t = 0, la corriente sólo está limitada por la resistencia     ®       K = ln (V /R)

I =  e^{- t /(R.C) + ln (V /R)} = (V /R). e^{- t /(R.C)} = I_o.e^{- t /(R.C) + k} 

La intensidad al cabo de 0'1 s será:

R.C = 500.100.10^-6 = 0'05 s    ,    I = ( 12 / 500 ). e^{-0'1 / 0'05)} = 0'0032 A

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Un circuito serie está formado por una resistencia, un condensador y una bobina. Determinar su impedancia, el desfase y la intensidad.

Sea V = V_o. sen w.t la diferencia de potencial producida por el generador.

Una forma gráfica de demostrar que la solución propuesta es válida es la siguiente:

En los ejes de coordenadas se representa:

        en el semieje +X el valor de la resistencia R

        en el semieje +Y el valor L.w

        en el semieje -Y el valor 1 /(C.w)

La suma de los tres vectores anteriores es la impedancia Z del circuito, y el ángulo que forma la parte vertical con la horizontal de Z es la fase j.

Geométricamente se demuestra que en cualquier instante t, cualquier recta r, se cumple la ecuación diferencial del sistema:

AG = FH = R. sen(w.t-j)

HK = (Lw - 1/(C.w)). cos(w.t-j)

FK = FH +HK =  (Lw - 1/(C.w)). cos(w.t-j) +  R. sen(w.t-j)

FK = Z. sen wt

Z. sen wt = (Lw - 1/(C.w)). cos(w.t-j) +  R. sen(w.t-j)

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Un circuito serie está formado por una resistencia de 100 W, un condensador de 30 m F y una bobina de 2 H. Determinar su frecuencia de resonancia y la potencia media disipada cuando el circuito se conecta a un generador de f.e.m. máx de 100 V y de pulsación la de resonancia.

En los ejes de coordenadas se representa:

        en el semieje +X el valor de la resistencia R

        en el semieje +Y el valor L.w

        en el semieje -Y el valor 1 /(C.w)

La suma de los tres vectores anteriores es la impedancia Z del circuito, y el ángulo que forma la parte vertical con la horizontal de Z es la fase j.

Z = [R² + (L.w - 1 /(C.w)]^1/2

La frecuencia de resonancia es tal que la impedancia es mínima; en este caso sucede cuando:

L.w = 1 /(C.w)     ®       w = 1 /(L.C)^1/2 = 1 /(2.30.10^-6)^1/2 = 129 rad/s

A esta frecuencia:

Z = R = 100 W    ,     j = 0    ,     I_o = V_o / R = 100 /100 = 1 A    ,    P = I_o.V_o /2 = 1. 100 /2 = 50 W

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