Problemas de Física, Bachillerato

Tema: Inducción electromagnética

     ®       

b) La fuerza electromotriz inducida en dicho solenoide.

Solución:

El flujo que atraviesa inicialmente una espira es:

F = B.S = B.S. cos q

y el que atraviesa el solenoide:

F = N. B. S. cos q = 200. 0'5. p.0'08² . cos 60 = 1'0053 Wb

Si el campo magnético disminuye uniformemente* a cero en 0'1 s, la expresión del campo magnético en ese intervalo de tiempo será la ecuación de la recta que pasa por los puntos (B=0'5, t=0) y (B=0, t=0'1) :

B = 0'5. ( 1 - t / 0'1 ) = 0'5. (1 - 10.t)

y la expresión del flujo en función del tiempo será:

F = N. B. S. cos q = 200. 0'5. (1 - t/0'1) . p.0'08² . cos 60 = 1'0053. (1 - 10.t)

Al producirse una variación en el flujo se induce una f.e.m. que es proporcional y opuesta a la variación de flujo en la unidad de tiempo*:

Î = - ¶F / ¶t = -1'0053( - 10) = 10'053 Voltios

El sentido de la corriente inducida debe ser tal que cree un campo magnético hacia la derecha en el dibujo, pues es en ese sentido en el que disminuye el campo magnético exterior.

* Nota: Si el campo varía uniformemente se puede utilizar la expresión:

Î = -  (F_final - F_inicial) / t = - (0 - 1'0053) / 0'1 = 10'053 Voltios 

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Madrid Junio 2002

Una bobina de sección circular gira alrededor de uno de sus diámetros en un campo magnético uniforme perpendicular al eje de giro. El valor máximo de la f.e.m. inducida es de 50 V cuando la frecuencia es de 60 Hz. Determinar el valor máximo de la f.e.m. inducida si:

a) La frecuencia es 180 Hz en presencia del mismo campo magnético.

b) La frecuuencia es 120 Hz y el campo magnético es doble.

Solución:

El flujo magnético que atraviesa la espira en un instante dado es:

F = B. S. cos q 

si la espira gira, el ángulo varía con el tiempo:

q = w. t     ®       F = B. S. cos w.t   

Según la ley de Faraday, toda variación del flujo magnético induce una fuerza electromotriz que es proporcional y opuesta a la variación de flujo en la unidad de tiempo:

e = - dF /dt = - d/dt (B. S. cos w.t  ) = B. S. w. sen w.t   

El sentido de esta corriente inducida es tal que se opone a la variación de flujo, produciendo su propio campo magnético.

El valor máximo de la f.e.m es:     e_o =  B. S. w =   2.p . B . S .F

Como en todos los casos propuestos la superficie de la espira es la misma, la relación entre el valor máximo de la f.e.m. inducida y el producto de la intensidad del campo magnético por la frecuencia es constante:

e_o / (B.F) =  2.p .  S = constante en todos los supuestos de este problema

a) Si la frecuencia pasa a ser 180 Hz, con el mismo campo magnético:

50 / (B.60) = e_o / (B.180)     ®       e_o = 50. B. 180 / (B.60) = 150 Voltios

b) Si la frecuencia pasa a se 120 Hz, duplicándose el campo:

50 / (B.60) = e_o / (2B.120)     ®       e_o = 50.2B. 120 / (B.60) = 200 Voltios

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Se disponen coplanar y paralelos un hilo conductor rectilíneo indefinido, por el que circula una intensidad de 2 A, y una espira conductora cuadrada de lado 10 cm y 5 ohmmios de resistencia, siendo la distancia del hilo al centro del cuadrado 20 cm. Determinar la carga neta que circulará por la espira si la giramos 90º respecto a un eje que pase por su centro y paralelo al hilo.

La intensidad i que circulará por la espira como consecuencia de la variación del flujo magnético será:

i = (- dF /dt) /R

pero:

i = dq /dt      ®       dq = i. dt      ®       q = ò i. dt     ® 

q = ò [(- dF /dt) /R]dt =  ò - dF /R = (F_inicial - F_final) /R

Determinación del flujo inicial:

el campo magnético a una distancia x del hilo es perpendicular a la espira y de valor:  B = m_o. I /(2.p.x)

el flujo en un elemento de superficie será: dF(x) = B(x). a. dx

el flujo total será: F = ò B(x). a. dx = ò m_o. I. a. dx /(2.p.x)

F =  m_o. I. a. ln x /(2.p)]_0'15^0'25 =  m_o. I. a. ln (0'25/0'15)  /(2.p)

F_inicial =  4.p.10^-7. 2. 0'1. ln(0'25/0'15) /(2.p) = 2'04 .10^-8 

Determinación del flujo final:

considerando dos elementos de superficie simétricos respecto al eje de giro observamos que las componentes normales a las superficies del campo magnético son iguales y opuestas,;es decir, el flujo entrante en un elemento de superficie es contrarrestado por el flujo saliente en el elemento de superficie simétrico. Por tanto:

F_final = 0

La carga neta que circula por la espira como consecuencia del giro será:

q = ( 2'04 .10^-8 - 0) /5 = 4 ' 09 .10^-9 coulombs

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Para determinar el número de portadores de carga por unidad de volumen de un material conductor se construye con él un paralelepípedo de sección cuadrada de 4 mm² . Entre las dos caras cuadradas se hace pasar una corriente de 0'1 A y se somete el sistema a un campo magnético perpendicular a una cara rectangular de 2.10^-5 T. Se observa que entre las otras dos caras rectangulares aparece una d.d.p. de 10^-12 V. Determinar el número de portadores por unidad de volumen.

Los portadores son electrones que se mueven en el sentido opuesto a la Intensidad con una velocidad que depende del número de portadores por unidad de volumen, n, de la intensidad, I, y de la sección del conductor, S:

I = n. e. S. v     ®       n = I /(e. S. v)        [1]

En régimen transitorio los electrones se ven sometidos a una fuerza magnética F_m que los desvía hacia una cara lateral. A medida que pasa el tiempo en una cara lateral se acumulan electrones y en la opuesta hay un déficit de electrones, apareciendo un campo eléctrico, E, que impide el desplazamiento lateral de los electrones con una fuerza F_e .

En régimen estacionario la fuerza magnética y eléctrica se contrarrestan:

F_m = F_e      ®       e. v. B = e. E     ®       E = v. B

La d.d.p. entre las dos caras, V, será:       V = E. a = v. B. a     ®       v = V /(B. a)

Sustituyendo la velocidad en la expresión [1] se obtiene:

n = I. B. a /(e. S. V) = I. B. a /(e. a². V) = I. B /(e. a. V)

sustituyendo datos:

n = 0'1. 2.10^-5 /(1'6.10^-19. 0'002. 10^-12) = 6 ' 25 .10²⁷ m^-3 

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Se tiene un hilo conductor por el que circula una corriente de intensidad I. Coplanar al hilo se dispone una espira rectangular de dimensiones 2 cm x 5 cm con el lado mayor paralelo al hilo. La espira tiene una resistencia de 0'01 ohmmios y su centro está a 10 cm del hilo. Movemos la espira con velocidad constante de 5 m/s hasta que su centro está a 20 cm del hilo y medimos una circulación de cargas de 5.10^-8 culombios. Determinar la Intensidad que circula por el hilo y la intensidad por la espira en función del tiempo.

Según la ley de Faraday-Lenz la intensidad i que circula por la espira es:

i = ( - dF /dt ) /R = dq /dt     ®       

dq = - dF /R    ®     q = (F_i - F_f) /R       [1]

El flujo del campo magnético, creado por la corriente I, en un instante determinado, estando el centro de la espira a una distancia x del hilo, es:

Sustituyendo en [1] y despejando la intensidad del hilo I:

La f.e.m. inducida será:

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Una vagoneta metálica de 100 kg se mueve por una vía inclinada 12º lo suficientemente larga, al final de la cual los raíles, separados 1'5 m, se encuentran unidos por una barra conductora. Calcular la velocidad máxima que alcanzará la vagoneta si en esa situación la resistencia eléctrica del circuito es 10 ohmmios, el coeficiente de rozamiento es 0'2 y todo el sistema está sometido a un campo magnético vertical de valor 0'3 Teslas.

Las fuerzas que actúan sobre la vagoneta son: 

el peso, P

el rozamiento, F_r 

la fuerza debida al campo magnético sobre la corriente inducida en la vagoneta, F_m, 

la fuerza debida a la acción mutua entre corriente que es despreciable por ser la distancia grande.

Si la vagoneta alcanza una velocidad máxima se debe a que la aceleración es cero; es decir la fuerza total en la dirección del movimiento es nula:

          P = m . g      ,    T_P = m.g. sen q      ,    N_P = m.g . cos q 

          F_m = I . B . d     ,    T_Fm = I. B. d. cos q      ,    N_Fm =  I. B. d . sen q 

Fr = m . N = m . ( m.g . cos q  +  I. B. d . sen q )

F = T_P - Fr - T_Fm = 0    ®      m.g. sen q  - m . ( m.g . cos q  +  I. B. d . sen q ) - I. B. d. cos q  = 0

 m.g.  (sen q  - m . cos q ) =  I. B. d . ( cos q  + m . sen q )

La intensidad inducida tiene que ser: 

I =  m.g.  (sen q  - m . cos q ) / [ B. d . ( cos q  + m . sen q ) ]

Por otro lado, el flujo magnético es:

F = B. S. cos q  = B. d. (L - x). cos q  

La intensidad de la corriente inducida es:

I = (- dF / dt ) /R = (B. d. cos q /R) . dx /dt = B. d. cos q . v /R

Igualando las dos expresiones de la intensidad y despejando la velocidad:

v =  m.g. R. (sen q  - m . cos q ) / [ B². d² . cos q . ( cos q  + m . sen q ) ]

Sustituyendo datos:

v = 100. 9'8. 10. (sen 12  - 0'2 . cos 12 ) / [ 0'3². 1'5² . cos 12 . ( cos 12  + 0'2 . sen 12 ) ] = 595 ' 92  m /s

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Una espira conductora circular gira en un campo magnético uniforme, alrededor de un diámetro perpendicular a la dirección del campo, con una velocidad angular de 300 r.p.m.. Determinar la frecuencia de la corriente alterna inducida.

El flujo magnético que atraviesa la espira en un instante dado es:

F = B. S. cos q 

si la espira gira, el ángulo varía con el tiempo:

q = w. t     ®       F = B. S. cos w.t   

Según la ley de Faraday, toda variación del flujo magnético induce una fuerza electromotriz que es proporcional y opuesta a la variación de flujo en la unidad de tiempo:

e = - dF /dt = - d/dt (B. S. cos w.t  ) = B. S. w. sen w.t   

El sentido de esta corriente inducida es tal que se opone a la variación de flujo, produciendo su propio campo magnético.

La frecuencia de esta corriente alterna inducida es:

F = w /(2.p) = (300.2.p/60) / (2.p) = 5 Hz

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Tres hilos conductores, de resistencia despreciable, forman una U. Un cuarto conductor, de longitud 1m y resistencia 15 W se apoya sobre dos de los conductores anteriores, formando una espira rectangular. Esta espira está dentro de un campo magnético uniforme perpendicular de 0'4 T.  Determinar la fuerza necesaria para desplazar el cuarto lado paralelamente a si mismo con una velocidad de 2 m/s.

Al desplazar el lado aumenta la superficie de la espira, aumenta el flujo y se produce una f.e.m. inducida y por tanto una corriente por la espira. El campo magnético ejercerá una fuerza sobre dicha corriente. La fuerza necesaria para mover el lado con velocidad constante será igual y opuesta a la fuerza magnética.

Sean:  x_o la posición inicial del lado;    y la longitud del lado

S = y.x    pero    x = x_o + 2. t     ®       S = y.( x_o + 2. t)

F = B.S = B.y.( x_o + 2. t)    ®       e = - ¶F/¶t = - 2. B. y

I =  e /R = - 2. B. y /R

El signo sólo indica que su sentido debe ser tal que se oponga al aumento de flujo.

La fuerza que ejercerá el campo magnético sobre el lado será:

F = I. y. B = 2. B². y² / R = 2. 0'4². 1² / 15 = 0'02 N

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Una barra metálica de longitud L gira por un extremo dentro de un campo magnético uniforme perpendicular al plano de giro. Explicar qué sucede. ¿ Y si girara por el centro ?.

Es la experiencia de Henry.

Aunque no es un circuito eléctrico, la barra metálica está formada por átomos; los núcleos de los átomos no se pueden mover pero los electrones son libres, por ser el enlace metálico.

Un punto situado a una distancia r del eje de giro se moverá con una velocidad  v = w.r , y por tanto los electrones de ese punto también llevarán esa velocidad. Como los electrones se mueven, al girar la barra, y están dentro de  un campo magnético, aparecerá sobre ellos una fuerza magnética, F_m = q. v. B,  que los desplazará hacia el extremo de la barra. El extremo A de la barra tendrá exceso de carga negativa y la parte en torno al eje de giro O, tendrá defecto de electrones es decir carga neta positiva.

Esta distribución de carga produce un campo eléctrico de sentido OA que se opone al movimiento de los electrones con una fuerza eléctrica de valor F_e = q. E.

El sistema alcanzará un equilibrio cuando las fuerzas sean iguales:

q. v. B = q. E    ®       E = w. B. r

La d.d.p. entre dos puntos próximos será:      dV = E.dr = w. B. r. dr

La d.d.p. entre los extremos será:  

V_O - V_A = ò E.dr = w. B. ò r. dr = w. B. r² /2 ]_o^L = w. B. L² /2

Si la barra girara por su centro, las cargas negativas se acumularían en los extremos A, C, y la carga positiva en torno al centro de giro O. Existirían dos campos eléctricos dirigidos desde el centro a los extremos y de valor en un punto siyuado a una distancia r del centro de giro:

E = w. B. r

V_O - V_A = ò E.dr = w. B. ò r. dr = w. B. r² /2 ]_o^L/2 = w. B. L² /8

V_O - V_C = ò E.dr = w. B. ò r. dr = w. B. r² /2 ]_o^L/2 = w. B. L² /8

V_A - V_C = (V_O - V_C) - (V_O - V_A) = 0

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El flujo magnético que atraviesa una espira es  t² - 2.t , en el intervalo [0, 2], en S.I.. Representa el flujo y la f.e.m. inducida en función del tiempo, determinando el instante en que alcanzan sus valores absolutos máximos. Explica por qué hay un punto con f.e.m. nula.

La función flujo es una parábola cóncava con los ceros en t = 0  y  t = 2  y con el mínimo en t = 1, por ser su primera derivada nula y la segunda positiva:

F = t² - 2.t     ®       dF/dt = 2.t - 2 = 0    ®       t = 1 , F = -2

el máximo valor absoluto del flujo es 2 y se produce en el mínimo, para t =1 s

La función e,  f.e.m., es una recta de pendiente -2  y cero en t = 1 :

 e = - dF/dt = - 2.t + 2 

el máximo valor absoluto de la f.e.m., 2 V, se produce en los extremos del intervalo, es decir, para t = s  y  t = 2 s

La f.e.m. se anula en t = 1 porque en ese instante el flujo es un mínimo (máximo en valor absoluto) y las funciones varían muy poco en torno a los mínimos y máximos.

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