Problemas de Física, Bachillerato
Tema: Gravitación
| Satélite artificial | Caída en un planeta |
| En la espalda | Variación de g |
| En la Luna | Satélite geoestacionario |
| En un astro | Umbriel y Oberón |
| Energía de un satélite | Nuestra galaxia |
| Sin pesar | Tierra-Luna PAU |
Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 se mueve en una órbita circular de radio 1011 m y período de 2 años. El planeta 2 se mueve en una órbita elíptica, siendo su distancia más próxima a la estrella 1011 m y la más alejada 1'8.1011 m.
a) Cuál es la masa de la estrella.
b) Cuál es el período del segundo planeta.
c) Qué velocidad lleva el segundo planeta cuando se encuentra más cerca de la estrella.
Solución:
La
fuerza de atracción de la estrella es la fuerza centrípeta que
obliga al planeta a describir una órbita:
G . M . m / R2 = m . w2 . R ® M = w2 . R3 / G
Aplicando esta expresión al planeta 1:
M = (2p /T)2 . R3 / G = [ 2. 3'14 / (2.365.24.3600)]2 . (1011)3 / 6'67.10-11 = 1'49.1029 kg
De la expresión anterior se deduce la tercera ley de Kepler:
M.G / (4.p2) = R3 / T2 = constante para todos los planetas de este sistema, siendo R la distancia media a la estrella, o semieje mayor de la elipse.
Para el segundo planeta la distancia media a la estrella es: R = (OP + OA) / 2 = 1'4.1011 m
Aplicando esta constancia a los dos planetas:
R13 / T12 = R23 / T22 ® T2 = T1 . (R2 / R1)3/2 = 2 . (1'4 / 1)3/2 = 3'31 años
Para determinar la velocidad en un punto de la trayectoria se aplica la energía mecánica de una elípse:
E = c - G . M . m / (2.R) ® v = [ G . M . (2 /r - 1 /R)]1/2
siendo r la distancia del punto a la estrella y R la distancia media
v = [ 6'67.10-11 . 1'49.1029 . ( 2 / 1011 - 1 /1'4.1011)]1/2 = 11304 m/s
O bien se aplica el teorema de conservación del momento angular y de conservación de la energía entre los puntos más próximo y más lejano y se resuelve el sistema:
[ r . m . v ]afelio = [ r . m . v ]perihelio
[ m . v2 / 2 - G . M . m / r ]afelio = [ m . v2 / 2 - G . M . m / r ]perihelio
P.A.U. Madrid Junio 2002
Un planeta esférico tiene un radio de 3000 Km y la aceleración de la gravedad en su superficie es 6 m/s2.
a) ¿ Cuál es su densidad media ?
b) ¿ Cuál es la velocidad de escape para un objeto situado en la superficie del planeta?.
Solución:
El volumen del planeta será: V = 4.p.R3 /3 = 4. 3'14.(3.106)3 /3 = 1'13.1020 m3
La aceleración de la gravedad es la intensidad del campo gravitatorio creado por la masa del planeta:
g = G.M/r2 à M = go.R2 /G = 6.(3.106)2 / 6'67.10-11 = 8'096.1023 Kg
La densidad es la relación entre la masa y su volumen:
d = M/V = 8'096.1023 / 1'13.1020 = 7164'6 Kg / m3
La velocidad de escape es la velocidad mínima que hay que suministrar a un objeto para que escape del campo gravitatorio:
( Ec + Ep )R = ( Ec + Ep )¥
½.m.v2 - G.M.m/R = ½.m.02 - G.M.m/¥2
v = [2.G.M/R]½ = [2.R.G.M/R2 ]½ = [2.R.go]½ = [2.3.106 .6]½ = 6000 m/s
P.A.U. Madrid Junio 1997
Se considera el movimiento elíptico de la Tierra en torno al Sol. Cuando la Tierra está en el afelio (la posición más alejada del Sol) su distancia al Sol es de 1,52.1011 m y su velocidad orbital es de 2,92.104 m/s. Hallar:
a) El momento angular de la Tierra respecto al Sol.
b) La velocidad orbital en el perihelio (posición más cercana al Sol), siendo en este punto su distancia al Sol de 1,47.1011 m.
Datos complementarios: Masa de la Tierra. MT= 5,98.1024 kg
Solución:
Sean el punto S el Sol, el punto P la posición de la Tierra
en el perihelio y el punto A su posición en el afelio.
La Tierra se ve afectada por la fuerza de atracción del Sol, fuerza que sigue la dirección del radio vector posición de la Tierra respecto del Sol, por lo que el Momento que produce es cero. Al ser este momento nulo el momento angular L es constante:
M = dL /dt , si M = 0 à L = constante
esto implica que la trayectoria es plana, pues L no puede cambiar de dirección, y que su módulo vale lo mismo en cualquier punto de la trayectoria y por consiguiente vale lo mismo en el afelio que en el perihelio. L es el momento de la cantidad de movimiento:
L = r . m.v . sen 90 = r . m . v = 1'52.1011 . 5'98.1024 . 2'92.104 = 2'65.1040 kg.m2 /s
L = constante à L(A) = L(P) à rA . m . vA = rP . m . vP à
vP = rA . vA / rP = 1'52.1011 . 2'92.104 / 1'47.1011 = 3'02.104 m/s
P.A.U. Madrid Junio 2002
La velocidad angular con la que un satélite describe una órbita circular en torno al planeta Venus es w1 = 1'45.10-4 rad/s y su momento angular respecto al centro de la órbita es L1 = 2'2.1012 Kg.m2.s-1
a) Determinar el radio r1 de la órbita del satélite y su masa
b) ¿Qué energía sería necesaria para cambiar a otra órbita circular con velocidad angular w2 = 10-4 rad/s
Dato: Masa de Venus 4'87.1024 Kg
Solución:
Si el satélite está en una órbita estacionaria, la fuerza centrípeta que le obliga a describir la órbita es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce Venus sobre el satélite:
m.v2 /r = G.M.m/r2 , ó bien m.w2 .r = G.M.m/r2
de donde: r = [G.M/w2 ]1/3 = [6'67.10-11 .4'87.1024 /(1'45.10-4 )2 ]1/3 = 24906 km
El momento angular es L = I.w , siendo el momento de inercia I = m.r2
L = m.r2.w à m = L /(w.r2) = 2'2.1012 /[1'45.10-4 .(24'906.106)2] = 24'46 Kg
La energía necesaria para cambiar la órbita del satélite será la diferencia de energías entre las dos órbitas:
E = E2 - E1 = ( Ec + Ep)2 - (Ec + Ep)1
Ec = m.v2 /2 = (G.M.m/r)/2
Ep = - G.M.m /r
Ec + Ep = (G.M.m/r)/2 - G.M.m /r = - (G.M.m /r)/2
Para w1 = 1'45.10-4 el radio de la órbita es r1 = 24906 km
y su energía (Ec + Ep)1 = - 6'67.10-11.4'87.1024. 24'46 /(2.24'906.106) = - 1'6.108 Julios
Para w2 = 1.10-4 el radio de la órbita es: r2 = [G.M/w2 ]1/3 = 31907 Km
y su energía (Ec + Ep)2 = - 6'67.10-11.4'87.1024. 24'46 /(2.31'907.106) = - 1'25.108 Julios
La energía a suministrar al satélite será:
E =- 1'25.108 + 1'6.108 = 0'35.108 Julios
P.A.U. Madrid Junio 1997
a) Compara las fuerzas de atracción gravitatoria que ejercen la Luna y la Tierra sobre un cuerpo de masa m que se halla situado en la superficie de la Tierra. ¿A qué conclusión llegas?.
b) Si el peso de un cuerpo en la superficie de la Tierra es de 100 kp. ¿Cuál sería el peso de ese mismo cuerpo en la superficie de la Luna?.
Datos: La masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna.
La distancia entre los centros de la Tierra y la Luna es de 60 radios terrestres.
E1 radio de la Luna es 0,27 veces el radio de la Tierra.
Solución:
La fuerza de atracción de la Tierra sobre un objeto en su superficie será:
FT = G. MT . m / RT2
La fuerza de atracción de la Luna sobre un objeto situado en la superficie de la Tierra dependerá de la posición del objeto, pero su valor máximo se alcanza en el punto del dibujo:
FL = G. ML . m / (d - RT)2
La relación entre ambas fuerzas será:
FT / FL = [G. MT . m / RT2] / [G. ML . m / (d - RT)2] = (MT / ML) . [ (d - RT) / RT ]2 = 81 . 592 = 281961
La fuerza que ejerce la Tierra es unas 282 mil veces la ejercida por la Luna, por lo que la fuerza lunar puede considerarse despreciable frente a la terrestre.
El peso en la superficie lunar de un cuerpo de masa 100 Kg será: PL = G. ML . m / RL2
y en la Tierra: PT = G. MT . m / RT2
PL / PT = (G. ML . m / RL2) / (G. MT . m / RT2) = ( ML / MT ) . ( RT / RL )2 = (1 / 81) . (1 / 0'27)2 = 0'17 » 1 /6
El peso de un cuerpo en la Luna es aproximadamente la sexta parte del peso en la Tierra
en este caso: PL = 0'17 . PT = 0'17 . 100 = 17 Kp
P.A.U. Madrid Junio 1998
La nave espacial Lunar Prospector permanece en órbita circular alrededor de
la Luna a una altura de 100 km sobre su superficie. Determine:
a) La velocidad lineal de la nave y el periodo del movimiento.
b) La velocidad de escape a la atracción lunar desde esa órbita.
Datos: Constante de Gravitación G = 6,67x10-11 N m2 kg-2
Masa de la Luna ML = 7,36x1022 kg Radio medio lunar RL =1740 km
Solución:
La fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Luna sobre
la nave espacial es la fuerza centrípeta que obliga a la nave a describir la
órbita circular:
Fa = Fc à G. M . m / (R+h)2 = m. v2 / (R + h) à
v = [G . M / (R + h)]1/2
v = [6'67.10-11 . 7'36.1022 /1'840.106]1/2 = 1633'4 m/s
El período de rotación será:
T = 2.p .(R+h) / v = 2 . 3'14 . 1'84.106 / 1633'4 = 7077'91 s
La velocidad de escape es la velocidad radial que hay que suministrar a un objeto para que escape de la atracción gravitatoria, es decir que llegue al infinito, Ep = 0, con velocidad nula, Ec = 0. La velocidad que hay que suministrar debe ser tal que la energía total sea nula:
½ m . v2 - G . M . m / (R+h) = 0 à v = [2. G . M / (R+h)]1/2
v = [2 . 6'67.10-11 . 7'36.1022 /1'840.106]1/2 = 2309'98 m/s
La latitud de Madrid es 41º. Determinar a qué velocidad debería girar la Tierra para que en Madrid los cuerpos no pesaran.
El peso de un cuerpo es la fuerza de atracción de la Tierra menos la componente normal de la fuerza centrífuga. Si los cuerpos no pesaran, la fuerza de atracción debería ser igual a la componente normal de la fuerza centrífuga:
m.g = FCN ® m.g = FC . cos l ® m.g = m.w2.r . cos l
pero r = R. cos l ® g = w2. R . cos2 l ®
w = [ g / (R.cos2 l) ]1/2
En este caso: w = [ 9'8 / (6'37.106.cos2 41) ]1/2 = 0 ' 0016435 rad /s
En estas condiciones los días durarían:
T = 2.p /w = 2.p / 0 ' 0016435 = 3823'11 seg = 1 h 3 mn 43 s
No podríamos andar al ser nulo el rozamiento con el suelo; no podríamos desplazarnos pues no podríamos nadar en el aire, de resistencia muy pequeña; no podríamos evitar ser arrastrados por la componente tangencial de la fuerza centrífuga que nos ...
El Sol describe una órbita alrededor del centro de nuestra galaxia, situado a 30 000 años-luz, con un período de revolución de 200 millones de años. Si todas las estrellas de la galaxia fueran como el sol, determinar cuántas estrellas hay en nuestra galaxia.
El Sol se ve atraído por las estrellas de la galaxia a la que pertenece, obligándole a describir una órbita circular cuyo centro es el centro de masas del conjunto de estrellas.Sean Ms la masa del Sol, Mg la masa de la galaxia, R el radio de la órbita del Sol y T su período orbital:
G. Ms. Mg / R2 = Ms. 4.p2.R /T2 ® Mg = 4.p2.R3 /(G.T2)
Mg = 4.p2.(2'7.1020)3 /[6'67.10-11.(2.108)2] = 262'1.1067 kg
En número de soles contenidos en la masa de la galaxia sería:
N = Mg / Ms = 262'1.1067 / 2.1030 = 131.1037 soles
Un satélite describe una órbita circular, de radio una vez y media el radio terrestre, alrededor de la Tierra. Representa las fuerzas que actúan sobre el satélite. Calcula su velocidad y su peso, sabiendo que en la superficie terrestre pesa 8330 N.
La única fuerza que actúa sobre el satélite es
la fuerza de atracción gravitatoria que la Tierra ejerce sobre él y que le
obliga a desviarse de su trayectoria, describiendo una curva. El peso del
satélite, p, la fuerza centrípeta, Fc y la fuerza de
atracción gravitatoria, F, son la misma fuerza.
Determinar la velocidad y el período de revolución de un satélite cuyo radio orbital es el terrestre. El enunciado anterior es equivalente a: Con que velocidad hay que tirar horizontalmente una piedra para que nos de en la espalda.
La única fuerza que actúa sobre el satélite es
la fuerza de atracción gravitatoria que la Tierra ejerce sobre él y que le
obliga a desviarse de su trayectoria, describiendo una curva. La fuerza centrípeta, Fc y la fuerza de
atracción gravitatoria, F, son la misma fuerza, siendo, en este caso, el radio
de la órbita igual al radio de la Tierra.
Un cuerpo que en la Tierra pesa 735 N cae desde una altura de 50 Km sobre la superficie lunar. Si la masa y radio lunar son la centésima parte de la masa terrestre y la cuarta parte del radio terrestre, calcular la masa del cuerpo y su peso en la Luna así como la velocidad al llegar a la superficie lunar.
La masa es invariante en todo el Universo, por lo
que la masa del cuerpo es la misma en la Luna que en la Tierra, y su valor
es m = p / g = 735 / 9'81 = 74'9 Kg
El peso del cuerpo depende del planeta que le atrae y de la distancia al planeta. Si el cuerpo se encuentra en la superficie lunar su peso será:
La aceleración de caída sobre la Luna varía con la altura, pero como la altura inicial, 50 Km, es muy pequeña en comparación con el radio lunar, podemos suponer que la aceleración de la gravedad lunar es constante e igual a la de su superficie:
m.gL = 0'16.m.gT ® gL = 0'16.9'81 = 1'57 m/s2
el tiempo que tarda en caer será:
y = ½.gL.t2 ® t = (2.50000/1'57)-½ = 252,4 s
y la velocidad al llegar a la superficie lunar:
v = gL.t =1'57 . 252,4 = 396 m/s
Se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil desde la superficie de un astro con una velocidad de 750 Km/h. Calcula la altura máxima que alcanzará. La masa del astro es 324440 veces la de la Tierra y su radio es 108 veces el terrestre.
Antes de aplicar las ecuaciones del movimiento es necesario calcular la aceleración de la gravedad en el astro:
Al llegar al punto más alto la velocidad es cero, por lo que el tiempo en subir será:
vo = 750 Km/h = 208'3 m/s
v = vo - ga . t ® t = vo / ga = 208'3 / 272'87 = 0'76 s
y la altura que alcanza:
y = vo.t - ½.ga.t2 = 208'3 . 0'76 - 0'5 . 272'87 . 0'762 = 79'5 m
Un satélite de 1250 Kg está en órbita alrededor de la Tierra a 1400 Km de altura. Determinar su período de revolución y sus energías cinética y potencial.
El radio de la órbita será: r = h + R = 1400 + 3670 = 5070 Km
La fuerza de atracción de la Tierra es la fuerza centrípeta que obliga al satélite a orbitar a su alrededor:
En la superficie de un planeta de radio 5/4 el terrestre la aceleración de la gravedad es 14'7 m/s2 . Calcular la relación entre las masas del planeta y de la Tierra y la altura desde la que hay que dejar caer un objeto para que llegue a la superficie con la misma velocidad con que llegaría al suelo terrestre desde 275 m.
La relación de masas está relacionada con la relación entre las aceleraciones de la gravedad:
g = G.M / R2 ® M = g . R2 / G ®
Mp / MT = (gp . Rp2) / (gT . RT2) = 14'7 . 52 / 9'8 . 42 = 2'34
La velocidad al llegar al suelo en caída libre partiendo del reposo es:
v = (2.g.h)½
si la velocidad en la Tierra y en el planeta debe ser la misma:
(2.gt.ht)½ = (2.gp.hp)½ ® gt.ht = gp.hp ® hp = gt.ht / gp = 183'3 m
Hasta que altura hay que ascender para que la gravedad se reduzca en un 15 %.
Si se debe reducir en 15 % la gravedad valdrá: g = 0'85 . 9'8 = 8'33 m / s2
g = G.M / r2 ® g = go . (R / r)2 ® r = R . (go / g)½
r = 6'37 . 106 .( 9'8 / 8'33 )½ = 6909235 m , desde el centro de la Tierra
h = 6909235 - 6370000 = 539235 m de altura sobre el suelo
Determinar la velocidad y altura de un satélite geoestacionario.
Un
satélite geoestacionario es aquel que permanece siempre sobre la misma vertical
de la Tierra, por tanto tiene una velocidad de giro igual a la de la Tierra, es
decir, 1 vuelta al día.
Umbriel, satélite natural de Urano, describe una órbita circular de 267 000 Km de radio alrededor del planeta con un período de revolución de 358 000 segundos. Determinar la masa de Urano y el período de revolución de otro de sus satélites, Oberón, cuyo radio orbital es 5'86.108 m.
