Problemas de Física, Bachillerato
Tema: Movimiento ondulatorio
| Parámetros de onda | Refracción |
| Interferencias | |
| Cuerda vibrando | Reflexión y refracción |
| Dos ondas | Espectro visible |
| Puntos nodales | Función de onda PAU |
| Refracción en piscina | Decibelios |
®
Una fuente sonora puntual emite con una potencia de 10-6 W
a) Determinar el nivel de intensidad expresado en decibelios a 1 m de la fuente sonora.
b) ¿A qué distancia de la fuente sonora el nivel de intensidad se ha reducido a la mitad del valor anterior ?
Dato: Intensidad umbral de audición Io = 10-12 W /m2
Solución:
La intensidad es la potencia por unidad de superficie. El sonido sale de la fuente y se reparte en todas direcciones, esféricamente:
I = P / S = P / ( 4. p . R2 )
A un metro de distancia:
I = 10-6 / ( 4. p . 12 ) = 7'96.10-8 W /m2
que expresado en decibelios:
ndb = 10 log I / Io = 10 . log 7'96.10-8 / 10-12 = 49 db
Si nos alejamos de la fuente el nivel de intensidad disminuye. Cuando este nivel es la mitad del anterior:
49 / 2 = 10 . log I / 10-12 ® log I / 10-12 = 2'45 ® I = 281'84 . 10 -12 W / m2
que se cumple cuando estamos a una distancia de la fuente de:
281'84 . 10-12 = 10-6 / (4. p . R2 ) ® R = [ 10-6 / (4. p . 281'84 . 10-12 )]1/2 = 16'8 m
Una piscina tiene una profundidad de 5 m de agua, índice de refracción 4/3. Determinar para un observador exterior:
a) La profundidad aparente en función del ángulo de visión.
b) La profundidad aparente mirando verticalmente
Solución:
Sean
A un punto del fondo de la piscina de profundidad H, r el ángulo de visión del
observador que observará la imagen del punto A en A', debido a la refracción
del rayo de luz.
Aplicando la ley de la refracción:
ni . sen i = nr . sen r ® sen i . 4/3 = sen r ® 4 . sen i = 3 . sen r
Teniendo en cuenta que: sen a = tg a / ( 1 + tg2 a )1/2
4 . tg i / ( 1 + tg2 i )1/2 = 3 . tg r / ( 1 + tg2 r )1/2
® 16 . tg2 i / ( 1 + tg2 i ) = 9 . tg2 r / ( 1 + tg2 r ) [1]
Por otro lado, considerando los triángulos rectángulos:
tg i = x / H tg r = x / h ® H . tg i = h . tg r ® tg i = h . tg r / H ® tg i = h . tg r / 5
que sustituyendo en [1]:
® 16 . h2 . tg2 r /[25. ( 1 + h2. tg2 r /25 )] = 9 . tg2 r / ( 1 + tg2 r )
® 16 . h2 / (25 + h2. tg2 r ) = 9 / ( 1 + tg2 r )
® 16 . h2 . ( 1 + tg2 r ) = 9 . (25 + h2. tg2 r )
® 16 . h2 + 16 . h2 . tg2 r = 225 + 9 . h2. tg2 r
® 16 . h2 + 7 . h2 . tg2 r = 225 ® 16 . h2 + 7 . h2 . tg2 r = 225
®
h = 15 / ( 16 + 7 . tg2 r )1/2 
Si se mira verticalmente, r = 0, tg r = 0,:
h = 15 / 4 = 3'75 m
P.A.U. Madrid Junio 2002
Escriba la expresión matemática de una onda armónica unidimensional como una función de x (distancia) y t (tiempo) y que contenga las magnitudes indicadas en cada uno de los siguientes apartados:
a) frecuencia angular w y velocidad de propagación v
b) período T y longitud de onda l
c) frecuencia angular w y número de onda k
d) Explique por qué es una función doblemente periódica
Solución:
La ecuación de una onda armónica unidireccional es:
y = A. sen ( w . t - k . x )
w = 2p/ T = 2p. F , k = 2p/l , v = l / T
siendo:
| y valor de la perturbación en el punto de coordenada x en el instante t | A amplitud en m |
| w frecuencia angular en rad/s | k número de onda en rad/m |
| l longitud de onda en m | T período en s |
| v velocidad de propagación en m/s | F frecuencia en Hz |
a) En función de w y v
k = 2p/l = 2p / (v.T) = 2p . F / v = w / v
y = A. sen ( w . t - k . x ) = A. sen ( w . t - w . x /v ) = A. sen w.( t - x /v )
b) En función de T y l
k = 2p/l , w = 2p/T
y = A. sen ( w . t - k . x ) = A. sen 2p . ( t / T - x / l )
c) En función de w y k
y = A. sen ( w . t - k . x )
d) La función es doblemente periódica en el espacio y en el tiempo.
Un punto fijo de coordenada xo se ve sometido a una perturbación y cuyo valor varía periódicamente con el tiempo alcanzando el valor máximo de la amplitud.
y = A. sen ( w . t - k . xo ), periódica en el tiempo T = 2p/w
Si por el contrario nos fijamos en todo el medio por el que se propaga la onda, en un instante dado, to, como si hiciéramos una fotografía, se observa que la función es periódica en el espacio; los puntos separados unos de otros por una longitud de onda están sometidos a la misma perturbación en ese instante.
y = A. sen ( w . to - k . x ), periódica en el espacio l = 2p/k
Dos ondas transversales definidas por y1 = 2 . sen 2p(t /0'1 - x /20) e y2 = 2 . sen 2p(t /0'1 + x /20), donde x es en cm y t en segundos. Calcular: a) Período, frecuencia, longitud de onda, velocidad y sentido de cada onda; b) separación entre puntos nodales si los hubiera; c) elongación y velocidad de un punto de abscisa 10 cm en el instante t = 2s; d) representar la onda en el instante t = 2 s.
T1 = T2 = 0'1 s ® F1 = F2 = 1 /0'1 = 10 Hz
l1 = l2 = 20 cm
v1 = l1 / T1 = 20 /0'1 = 200 cm /s
v2 = - l2 / T2 = - 20 /0'1 = - 200 cm /s
La onda resultante de la interferencia de las ondas iniciales será:
y = y1 + y2 = 2 . sen 2p(t /0'1 - x /20) + 2 . sen 2p(t /0'1 + x /20)
y = 4. sen 2p (t /0'1 + t /0'1)/2 . cos 2p (x /20 + x /20)/2 = 4 . cos p .x /10 . sen 20.p .t
el resultado es una onda estacionaria cuya amplitud depende de la posición x: A = 4. cos p .x /10
Los nodos son los puntos que siempre tienen amplitud cero, es decir son los puntos que cumplen:
cos p .x /10 = 0 ® x = (2.n +1).5 , n = 0, 1, 2, ...
la separación de dos nodos consecutivos será: D x = 20 /2 = 10 cm ó bien:
xk+1 - xk = [2.(k+1) + 1].5 - (2.k +1).5 = 10.k + 15 - 10.k - 5 = 10 cm
En el instante t = 2s la perturbación resultante vale:
y
= 4 . cos p .x /10 .
sen 20.p .2 = 0 para todo valor de x
pero la velocidad valdrá:
v = dy /dt = 4 .20.p. cos p .x /10 . cos 20.p .2 = 80.p. cos p .x /10
La ecuación de una onda transversal viene dada por la expresión y = 0'1 . sen 2.p .(2.t - x /1'5) , en unidades del Sistema Internacional. Determinar su frecuencia, longitud de onda, velocidad de fase y los puntos que están en fase y en oposición de fase en un instante determinado con el punto x = 2
Comparando la ecuación general de una onda con la ecuación dada obtenemos:
Y = A.sen (w.t - k..x) = A. sen 2.p (t /T - x /l)
T = 1/2 = 0'5 s , F = 1 /T = 2 Hz , l =1'5 m , vfase =l /T = 3 m /s
Dos puntos están en fase si tienen la misma elongación y velocidad, en valor y sentido, por tanto deben estar separados un múltiplo entero de longitudes de onda. Los puntos en fase con x = 2 m serán: 2 + n. 1'5, n Î Z
Y dos puntos están en oposición de fase si tienen la misma elongación pero sentidos opuestos y están separados un múltiplo impar de semilongitudes de onda. Los puntos en oposición de fase con x = 2 m serán: 2 + (2.n+1).0'75, n Î Z
Calcular en que instantes será máxima la elongación de un punto situado a 3 cm del foco emisor de un movimiento ondulatorio de 0'4 s de período y 12 cm de longitud de onda.
La ecuación de la onda será: y = A . sen 2.p (t /T - x /l)
para un valor x determinado, la elongación y va variando con el tiempo y tomará el valor máximo A cuando el seno valga la unidad, es decir, cuando:
2.p (t /T - x /l) = (4n +1). p /2 , n Î Z
t /T - x /l = n + 1/4 ® t = ( n + 1/4 + x /l ).T
t = (n + 1/4 + 3/12). 0'4 = 0'4.n + 0'2 , t = 0'2 s, 0'6 s, 0'10 s, ...
Se hace vibrar una cuera de 4'2 m con oscilaciones armónicas transversales con una frecuencia de 300 Hz y una amplitud de 10 cm, tardando las ondas en llegar al otro extremo 0'02 s. Calcular los parámetros de la onda y su elongación, velocidad y aceleración máximos transversales.
T = 1 /F =1 /300 = 0'0033 s
v = l /T = 4'2 /0'02 = 210 m /s ® l = v.T = 210 .0'033 = 0'7 m
La ecuación de la onda será:
y = A . sen 2.p (t /T - x /l) ® y = 0'1. sen 2.p (t / 0'0033 - x / 0'7)
vy = dy/dt = A. 2.p /T cos 2.p (t /T - x /l) ® vy máx = A. 2.p /T =0'1. 2.p /0'0033 = 188'5 m /s
ay = dvy /dt = - A. (2.p /T)2 sen 2.p (t /T - x /l) ® ay máx = A. (2.p /T)2 =0'1. (2.p /0'0033)2 = 355306 m /s2
Dos ondas armónicas de la misma frecuencia, 50 Hz, y la misma amplitud, 2 cm, que se propagan a 100 cm /s, llegan al mismo tiempo a un punto situado a 5 cm y 9 cm de los respectivos focos de onda. Determinar la ecuación del movimiento producido en dicho punto.
T = 1 /F = 1/ 50 = 0'02 s l = v.T = 1.0'02 = 0'02 m
Las ecuaciones de las ondas serán similares por tener la amplitud, frecuencia y velocidad iguales. En el punto considerado la perturbación total será la suma de las perturbaciones de cada onda:
y1 = A . sen 2.p (t /T - x1 /l) ®
y2 = A . sen 2.p (t /T - x2 /l)
y = y1 + y2 = A . sen 2.p (t /T - x1 /l) + A . sen 2.p (t /T - x2 /l)
y = 2.A. sen [2.p (t /T - x1 /l + t /T - x2 /l)/2] . cos [2.p (t /T - x1 /l - t /T + x2 /l)/2]
y = 2.A. sen [p (2.t /T - ( x1 + x2 )/l)] . cos [p (x2 - x1) /l]
y = 2.0'02. sen [p (2.t /0'02 - (0'05 + 0'09 )/0'02)] . cos [p (0'09 - 0'05) /0'02]
y = 0'04. sen p (100.t - 7) . cos [20.p ] = 0'04. sen p (100.t - 7)
En el fondo de una piscina de 2 m de profundidad se encuentra un foco luminoso puntual. En la superficie se observa un círculo luminoso debido a los refractados. Determina el radio del círculo si el índice de refracción del agua es 4/3.
Al ser mayor el índice de refracción del agua que el del aire, e ir los rayos de luz del agua al aire, a medida que aumenta el ángulo de incidencia mayor es el refractado; cuando éste llega a 90º el ángulo de incidencia se denomina ángulo límite; para ángulos de incidencia superiores sólo existe reflexión.
n . sen i = n' . sen r ® n . sen ilímite = n' . sen 90
sen ilímite = n' /n ® ilímite = arc sen n' /n = arc sen 3 /4 = 48'6 º
Sea R el radio del círculo formado y h la profundidad:
tg ilímite = R /h ® R = 2. tg 48'6º = 2'28 m
Las posiciones en la pantalla de una franja brillante y de otra oscura consecutivas, producidas por una doble rendija de Young, son 1'50 y 1'25 cm. La distancia entre rendijas es 0'02 cm y la pantalla está a 2 m. Determinar la longitud de onda de la luz y el orden de interferencia de cada franja.
La
interferencia producida por dos ondas de la misma frecuencia y amplitud viene
dada por la ecuación:
z = 2.A. cos [k.(r' - r)/2]. sen [w.t - k.(r' + r)/2 ]
Es decir se produce una onda cuya intensidad depende de la diferencia de caminos recorridos.
Si k.(r'-r)/2 = n.p , es decir, r' - r = n.l , n Î Z se produce una interferencia constructiva, franja brillante.
Si k.(r'-r)/2 = (2.n + 1).p/2 , es decir, r' - r = (2.n+1).l/2 , n Î Z se produce una interferencia destructiva, franja oscura.
Por otro lado:
r' - r = d. sen a » d. tg a = d. y /L ® y = L.(r' - r) /d
Las franjas brillantes se producen en y = n.l .L /d , n Î Z
en este caso: 1'5.10-2 = n.l .2 /2.10-4 ® n.l = 1'5.10-6
Las franjas oscuras se producen en y = (2.n' +1).l. L /(2d) , n' Î Z
en este caso: 1'25.10-2 = (2.n' +1).l. 2 /(2.2.10-4) ® (2.n' +1).l = 2'5.10-6
Dividiendo ambas expresiones: 2.n' +1 / n = 2'5 /1'5 = 5/3
como las franjas son consecutivas: n = n' + 1
por lo que n' =2 , n = 3
La longitud de onda valdrá: l = 1'5.10-6 /3 =5.10-7 m
Un rayo de luz incide sobre la superficie de separación de dos medios de forma que el rayo reflejado y el refractado forman 90º. Determinar la relación entre el ángulo de incidencia y los índices de refracción.
i
= r
n . sen i = n' . sen r'
90 - r + 90 - r' = 90 ® r + r' = 90 ® i + r' =90
r' = 90 - i
n . sen i = n' . sen (90 - i) ® n . sen i = n' . cos i ® tg i = n' / n
El espectro visible comprende las radiaciones de longitudes de onda entre 380 y 760 nm. Determinar el intervalo de frecuencias y energías correspondientes, así como el intervalo de longitudes de onda del espectro visible en un medio en el que la velocidad de la luz sea 3/4 la del vacío.
c = l . F ® F = c / l ® l = c / F
E = h . F , siendo h = 6'625.10-34 J.s
si denominamos l ' y c' a las longitudes de onda y velocidad en el medio:
c' = 3/4 c ® l ' = c' / F = 3/4 c / F = 3/4 l
Para 380.10-9 m :
F = 3.108 / 380.10-9 = 7'9.1014 Hz E = 6'625.10-34 .7'9.1014 = 5'23.10-19 J l ' = 3/4 380.10-9 m = 285.10-9 m
Para 760.10-9 m :
F = 3.108 / 760.10-9 = 3'95.1014 Hz E = 6'625.10-34 .3'95.1014 = 2'62.10-19 J l ' = 3/4 760.10-9 = 570.10-19 m
