Problemas de Física, Bachillarato
Tema: Óptica geométrica
®
Una persona padece presbicia. Tiene el punto próximo situado a 0'75 m del ojo y el remoto a 5 m. ¿ Entre qué valores extremos debe variar la potencia de unas gafas multifocales que le permitan ver bien de cerca y de lejos?
Solución:
Sea d la distancia entre el cristalino y la retina.
Si el punto remoto está a 5 m quiere decir que, sin acomodar el cristalino, se forma una imagen nítida en la retina:
1 / d - 1 / (-5) = 1 / fojo ® 1 / d + 1 / 5 = 1 / fojo
Si la lente lleva el punto remoto al infinito:
1 / d - 1 /(-¥) = 1 / fojo + 1 / flente ® 1 / d = 1 / fojo + 1 / flente
restando ambas ecuaciones:
1 / flente = - 1/5 = - 0'2 dioptrías, lente divergente, flente = - 5 m
Para modificar el punto próximo con una lente, hasta que sea de 0'25 m, hay que tener en cuenta que para enfocar ese punto el cristalino se acomoda adquiriendo otra distancia focal, que denominaremos f* , para que la imagen se forme en la retina:
Sin la lente: 1 / d - 1 /(-0'75) = 1 / fojo* ® 1 / d + 1 /0'75 = 1 / fojo*
Con la lente: 1 / d - 1 /(-0'25) = 1 / fojo* + 1 /flente ® 1 / d + 1 / 0'25 = 1 / fojo* + 1 /flente
restando ambas ecuaciones:
1/ flente = 1 /0'25 - 1 /0'75 = + 2'67 dioptrías
Las gafas deben llevar una lente multifocal que debe ir variando desde + 2'67 dioptrías en su parte inferior, para leer, hasta - 0'2 dioptrías en su parte central y superior, para ver de lejos.
P. A. U. Madrid Septiembre 2000
Sobre una lámina de vidrio de caras planas y paralelas, de espesor 2 cm y de índice de refracción n=3/2, situada en el aire, incide un rayo de luz monocromática con un ángulo de 30°.
Solución:
El
rayo incide desde el aire en una cara bajo un ángulo i y se refracta,
acercándose a la normal, con un ángulo r, pasando al interior;
atraviesa la lámina e incide en la parte interior de la otra cara con un
ángulo i' refractándose, alejándose de la normal, saliendo al
aire con un ángulo emergente r'.
Al estar la lámina rodeada de aire, como la ecuación de la refracción es la misma y por ser el ángulo de la primera refracción igual al ángulo de incidencia de la segunda refracción, r = i' , el ángulo emergente debe ser igual al de incidencia: r' = i
1ª refracción: 1. sen i = n. sen r
en este caso r = arc sen (sen 30 /1'5) = 19'47º
2ª refracción: n. sen i' = 1. sen r'
pero r = i' ® 1. sen i = n. sen r = n. sen i' = 1. sen r' ® r' = i
en este caso como incide con 30º, el ángulo emergente es 30º
Los rayos incidente y emergentes son paralelos. Para determinar la distancia recorrida y la separación entre estos rayos utilizamos los triángulos ABC y ABD:
cos r = e /AB ® AB = e / cos r
sen (i - r) = d / AB ® d = AB . sen (i - r)
en este caso:
AB = 2 / cos 19'47 = 2'12 cm
d = 2'12 . sen (30 - 19'47) = 0'39 cm
P. A.U. Madrid Junio 2000
Un objeto luminoso está situado a 6 m de una pantalla. Una lente, cuya distancia focal es desconocida, forma sobre la pantalla una imagen real, invertida y cuatro veces mayor que el objeto.
a)¿Cuál es la naturaleza y la posición de la lente? ¿Cuál es el valor de la distancia focal de la lente?
b) Se desplaza la lente de manera que se obtenga sobre la misma pantalla una imagen nítida, pero de tamaño diferente al obtenido anteriormente. ¿Cuál es la nueva posición de la lente y el nuevo valor del aumento?
Solución:
Hay
que tener en cuenta el criterio de signos, x e y' son negativos.
La lente tiene que ser convergente y el objeto debe estar más lejos de lente que la distancia focal, pues en todos los demás casos, incluida lente divergente, las imágenes son virtuales.
En el primer caso, las ecuaciones a resolver son:
- x + x' = 6 [1]
1 /x' - 1 /x = 1 /f' [2]
y' /y = x' /x = - 4 [3]
despejando x' de [3] y sustituyendo en [1]:
x' = - 4 .x ® - x - 4 .x = 6 ® x = - 6 /5 = - 12 /10 = - 1'2 metros ® x' = 48 /10 = 4´8 metros
la lente tiene que estar entre el objeto y la pantalla, a 1'2 m del objeto y a 4'8 m de la pantalla.
Sustituyendo estos valores en [2]:
1 / (48 /10) - 1 /(-12 /10) = 1 /f' ® 10 /48 + 10 /12 = 1 /f'
® 50 /48 = 1 /f' ® f' = 48 /50 = 24 /25 = 0'96 metros
la distancia focal imagen es positiva, luego la lente es convergente.
En el segundo caso, la lente es la misma, luego f' = 0'96 m, y las ecuaciones [1] y [2] siguen siendo válidas, no así la [3]
Despejando x' de [1] y sustituyendo en [2]:
x' = 6 + x ® 1 / (6 + x) - 1 /x = 25 /24 ® 24 .[x - (6 + x)] = 25. x .(6 + x)
® - 144 = 150 .x + 25 .x2 ® 25. x2 + 150. x + 144 = 0
ecuación con dos soluciones:
x1 = - 12 /10 , que es la del primer apartado
x2 = - 48 /10 = - 4'8 ® x' = 1'2 m
y el nuevo aumento será : A = y' / y = x' / x = 1'2 /(-4'8) = - 1 /4
la imagen es cuatro veces menor, real e invertida.
P.A.U. Madrid Septiembre 1998
Sobre la cara lateral de un prisma de vidrio de índice de refracción 1'4 , ángulo en el vértice de 50º y que se encuentra en el aire, incide un rayo de luz con un ángulo de 20º. Determinar:
a) Ángulo de desviación sufrido por el rayo.
b) Ángulo de desviación mínima de este prisma.
Solución:
Según
el dibujo y el enunciado:
a = 50º
i = 20º
n = 1'4
El ángulo de desviación entre el rayo incidente y el emergente es d = i + r' - a , como puede deducirse a partir del cudrilátero ABCD y de los triángulos BDC y BEC.
En la primera refracción:
1 . sen 20 = 1'4 . sen r ® r = arc sen ( sen 20 /1'4) = 14'14 º
del triángulo BDC se obtiene: r + i' = 50 ® i' = 50 - 14'14 = 35'86 º
En la segunda refracción:
1'4 . sen 35'86 = 1 . sen r' ® r' = 55'1 º
La desviación de los rayos es: d = 20 + 55'1 - 50 = 25'1 º
El ángulo de desviación mínimo se corresponde a un ángulo de incidencia tal que sea igual al ángulo emergente, i = r', y por tanto el ángulo de la primera refracción es la mitad del ángulo del prisma: r = a /2.
En este caso r = 50 /2 = 25 º
1 . sen i = 1'4 . sen 25 ® i = 36'28 º
P.A.U. Madrid Septiembre 2000
Una lente convergente con radios de curvatura de sus caras iguales, y que suponemos delgada, tiene una distancia focal de 50 cm. Con la lente proyectamos sobre una pantalla la imagen de un objeto de tamaño 5 cm.
a) Calcular la distancia de la pantalla a la lente para que la imagen tenga un tamaño de 40 cm.
b) Si el índice de refracción de la lente es 1'5, ¿ qué valor tienen los radios de la lente y cuál es su potencia ?
Solución:
Las ecuaciones de una lente delgada son:
1 / x' - 1 / x = 1 / f' ® 1 / x' - 1 / x = 1 / 50
A = y' / y = x' / x ® - 40 / 5 = x' / x
resolviendo el sistema de ecuaciones anterior:
x' = - 8 . x ® 1 /(- 8x) - 1 / x = 1 / 50 ® - 9 / 8x = 1 / 50 ® x = - 9 . 50 / 8 = - 56'25 cm
® x' = - 8 . (-56'25) = 450 cm = 4'5 m
La potencia de una lente es la inversa de su distancia focal medida en metros:
P = 1 / f' = 1 / 0'5 = + 2 dioptrías
Para determinar los radios de la lente, que son iguales según el enunciado, usamos la ecuación del "fabricante de lentes":
1 / f' = (n - 1).( 1/r1 - 1/r2 ) ® 1 / 50 = (1'5 - 1).[ 1 / r - 1 /(-r) ]
® 1 / 50 = 0'5 . 2 / r ® r = 50 cm
P.A.U. Madrid Junio 1997
Una lámina de vidrio de caras planoparalelas, situada en el aire, tiene un espesor de 8 cm y un índice de refracción de 1'6. Calcular para un rayo de luz monocromática que incide en la cara superior de la lámina con ángulo de 45º
a) Los valores del ángulo de refracción en el interior de la lámina y del ángulo de emergencia.
b) El desplazamiento lateral experimentado por el rayo.
c) Dibujar la marcha geométrica del rayo
Solución:
El
rayo incide desde el aire en una cara bajo un ángulo i y se refracta,
acercándose a la normal, con un ángulo r, pasando al interior;
atraviesa la lámina e incide en la parte interior de la otra cara con un
ángulo i' refractándose, alejándose de la normal, saliendo al
aire con un ángulo emergente r'.
Al estar la lámina rodeada de aire, como la ecuación de la refracción es la misma y por ser el ángulo de la primera refracción igual al ángulo de incidencia de la segunda refracción, r = i' , el ángulo emergente debe ser igual al de incidencia: r' = i
1ª refracción: 1. sen i = n. sen r
en este caso r = arc sen (sen 45 /1'6) = 26'23º
2ª refracción: n. sen i' = 1. sen r'
pero r = i' ® 1. sen i = n. sen r = n. sen i' = 1. sen r' ® r' = i
en este caso como incide con 45º, el ángulo emergente es 45º
Los rayos incidente y emergentes son paralelos. Para determinar la separación entre estos rayos utilizamos los triángulos ABC y ABD:
cos r = e /AB ® AB = e / cos r
sen (i - r) = d / AB ® d = AB . sen (i - r) = e . sen (i - r) / cos r
en este caso:
d = 8 . sen (45 - 26'23) / cos 26'23 = 2'87 cm
P.A.U. Oviedo 2001
Sea el dispositivo óptico, esquematizado en la figura, que está formado por dos prismas idénticos de índice de refracción 1'65, con bases biseladas a 45º y ligeramente separados. Se hace incidir un rayo láser perpendicularmente a la cara A del dispositivo. Discutir si es de esperar que exista luz emergente por la cara B, en los casos:
a)
El espacio separador entre los prismas es aire de índice de refracción 1
b) El espacio separador es agua de índice 1´33
Solución:
Para que exista luz emergente, el rayo de luz debe salir refractado por la primera cara biselada, por lo que el ángulo de incidencia debe ser menor al ángulo límite, pues de lo contrario no se refracta sino que se refleja.
El ángulo límite es el ángulo de incidencia que produce un ángulo de refracción de 90º:
ni . sen i = nr . sen r ® ni . sen L = nr . sen 90 ® L = arc sen ( nr / ni )
Al incidir el rayo de luz perpendicularmente a la cara A, ángulo de incidencia 0º, el rayo no se desvía por lo que incide en la cara biselada con un ángulo de incidencia de 45º.
En el primer caso, medio separador aire nr = 1, el ángulo límite es: L = arc sen (1 / 1'65) = 37'3º ; al ser el ángulo de incidencia, 45º, superior al ángulo límite toda la luz se refleja en la cara biselada, no habrá luz emergente por la cara B.
En el segundo caso, el índice del medio separador es 1'33, por lo que el ángulo límite sería: L = arc sen (1'33 / 1'65) = 53'7º ; al ser el ángulo de incidencia menor del ángulo límite si existe rayo refractado, que saldría de la primera cara biselada con un ángulo de refracción de:
1'65 . sen 45 = 1'33 . sen r ® sen r = 1'65 . sen 45 / 1'33 = 0'87 ® r = 61'3 º
Este rayo de luz incidiría en la cara biselada del otro prisma con un ángulo de incidencia de 61'3º , sufriendo una refracción con un ángulo de salida de 45º, es decir paralelo al rayo inicial.
P.A.U. Madrid Junio 2002
Un sistema óptico centrado está formado por dos lentes delgadas convergentes de igual distancia focal, 10 cm, separadas 40 cm. Un objeto lineal de altura 1 cm se coloca delante de la primera lente a una distancia de 15 cm. Determinar:
a) La posición, tamaño y naturaleza de la imagen formada por la primera lente
b) La posición de la imagen final del sistema, efectuando su construcción geométrica.
Solución:
La construcción geométrica se hace teniendo en cuenta que la imagen producida por la primera lente es el objeto de la segunda lente:
Las ecuaciones de las lentes son:
1 / x' - 1 / x = 1 / f' , A = y' / y = x' / x
Para la primera lente, todo en cm :
1 / x' - 1 / (- 15) = 1 / 10 ® 1 / x' = 1 / 10 - 1 / 15 = 1 / 30 ® x' = 30 cm
A = y' / y = x' / x = 30 / (-15) = - 2 ® y' = -2.y = -2-1= -2 cm
la imagen resulta ser el doble, invertida, real y situada a 30 cm detrás de la primera lente.
Al formarse esta imagen a 30 cm, estando las lentes separadas 40 cm y ser la segunda lente delgada también convergente y de distancia focal 10 cm, resulta que esta imagen inicial está situada en el foco objeto de la segunda lente por lo que no se formará ninguna imagen final al salir los rayos paralelos, se dice entonces que la imagen se forma en el infinito y con un tamaño infinito:
1 / x' - 1 / (-10) = 1 / 10 ® 1 / x' = 1 / 10 - 1 / 10 = 0 ® x' = ¥
P.A.U. Madrid Junio 2002
Un objeto luminoso se encuentra delante de un espejo cóncavo. Efectuar la construcción geométrica de la imagen, indicando su naturaleza, si el objeto está situado a una distancia igual, en valor absoluto, a:
a) La mitad de la distancia focal del espejo.
b) Al triple de la distancia focal del espejo.
Solución:
Para obtener la imagen de forma geométrica sólo hay que dibujar dos rayos:
1º Todo rayo que sale paralelo al eje se refleja pasando por el foco
2º Todo rayo que pase por el centro de curvatura, doble de la distancia focal, se refleja en la misma dirección
Por otro lado, las ecuaciones de los espejos son:
1 / s' + 1 / s = 1 / f A = y' / y = - s' / s
Por tanto:
Sea a el valor absoluto de la distancia focal
a) Si el objeto está a la mitad de la distancia focal
La
imagen resulta ser: mayor, derecha y virtual
Concretando más:
1 / s' + 1 / ( - a/2) = 1 / (-a) ® 1 / s' - 2 / a = - 1/a
® 1 / s' = 2 / a - 1 / a = 1 / a ® s' = a
y' / y = - s' / s = - a /(-a/2) = 2 ® y' = 2y
la imagen es el doble que el objeto y está situada detrás del espejo a una distancia igual al valor absoluto de la distancia focal.
b) Si el objeto está al triple de la distancia focal
La
imagen resulta ser: menor, invertida y real
Concretando más:
1 / s' + 1 / ( - 3a) = 1 / (-a) ® 1 / s' - 1 / 3a = - 1/a
® 1 / s' = 1 / 3a - 1 / a = 1 / 3a - 3 / 3a = - 2 / 3a ® s' = - 3a / 2
y' / y = - s' / s = - (- 3a/2) /(-3a) = 1/2 ® y' = - y/2
la imagen es la mitad que el objeto y está situada delante del espejo a una distancia igual a una vez y media el valor absoluto de la distancia focal.
Un objeto de 0'8 cm de altura está situado a 15 cm del polo de un espejo esférico de radio 20 cm. Determinar la posición, tamaño y naturaleza de la imagen tanto si es convexo como cóncavo.
Tanto en un espejo cóncavo como convexo, las ecuaciones son:
1 / x' + 1 / x = 1 / f A = y' / y = - x' / x
en ambos casos la distancia focal en valor absoluto es: f = R / 2 = 20 / 2 = 10 cm
Convexo:
1 / x' + 1 /(- 15) = 1 / 10
1 / x' = 1 / 10 + 1 / 15 = 5 / 30 = 1 / 6 ® x' = + 6 cm
y' / 0'8 = - 6 /(-15) ® y' = - 0'8. 6 /(-15) = 0'32 cm
la imagen es virtual, derecha y menor
Cóncavo:
1 / x' + 1 /(- 15) = 1 /(- 10)
1 / x' = - 1 / 10 + 1 / 15 = - 1 / 30 ® x' = - 30 cm
y' / 0'8 = - (-30) /(-15) ® y' = - 0'8.2 = - 1'6 cm
la imagen es real, invetida y mayor
Se necesita proyectar una diapositiva de 2 cm de altura sobre una pantalla situada a 3 m de la diapositiva, de modo que la imagen sea de 0'5 m. Calcular la posición de la lente y su potencia.
La
ecuación de la lente es:
1 / x' - 1/ x = 1 / f' [1]
y' / y = x' / x [2]
en este caso: y = 0'02 m , y' = - 0'5 m
- x + x' = 3 m ® x' = 3 + x
sustituyendo en [2] ® - 0'5 / 0'02 = (3 + x) / x ® - 25. x = 3 + x ® x = - 3 / 26 = - 0'115 m
® x' = 3 - 0'115 = 2'885 m
sustituyendo en [1] ® 1 /2'885 + 1 /0'115 = 1 / f' ® f = 0'11 m ® P = 1 / f' = 9 dioptrías
La distancia focal de una lente de vidrio, n = 1'52, mide 0'40 m en el aire. Calcular la distancia focal en el agua, n = 1'33.
La distancia focal de una lente depende de las características propias de la lente y del medio en el que está:
Sean el índice de refracción de la lente, R1 y R2 sus radios de curvatura, n* el índice de refracción del medio que la rodea. La distancia focal f viene dada por la expresión:
n* / f = (n - n*).( 1 / R1 - 1 / R2 )
Si está en el aire ® 1 / 0'4 = (1'52 - 1).( 1 / R1 - 1 / R2 )
Si está en el agua ® 1'33 / f = (1'52 - 1'33).( 1 / R1 - 1 / R2 )
Dividiendo las ecuaciones anteriores y despejando:
f = 0'4. 1'33. (1'52 - 1) / (1'52 - 1'33) = 1'46 m
El punto próximo de un ojo vale 10 cm y el punto remoto está a 6 m. Determinar la lente que necesita para ver el infinito sin acomodación y el nuevo punto próximo con la lente.
Sea d la distancia entre el cristalino y la retina.
Si el punto remoto está a 6 m quiere decir que, sin acomodar el cristalino, se forma una imagen nítida en la retina:
1 / d - 1 / (-6) = 1 / fojo ® 1 / d + 1 / 6 = 1 / fojo
Si la lente lleva el punto remoto al infinito:
1 / d - 1 /(-¥) = 1 / fojo + 1 / flente ® 1 / d = 1 / fojo + 1 / flente
restando ambas ecuaciones:
1 / flente = - 1/6 = - 0'17 dioptrías, lente divergente, flente = - 6 m
Para determinar el nuevo punto próximo con la lente hay que tener en cuenta que para enfocar ese punto el cristalino se acomoda adquiriendo otra distancia focal, que denominaremos f* , para que la imagen se forme en la retina:
Sin la lente: 1 / d - 1 /(-0'1) = 1 / fojo* ® 1 / d + 10 = 1 / fojo*
Con la lente: 1 / d - 1 / x = 1 / fojo* + 1 /(- 6) ® 1 / d - 1 / x = 1 / fojo* - 1 / 6
restando ambas ecuaciones:
10 + 1 / x = 1/6 ® 1 / x = 1 / 6 -10 ® x = - 0'102 m nuevo punto próximo
Utilizando una lente planoconvexa de radio 12'5 cm se observa que la imagen producida por un objeto situado a 50 cm del centro óptico es igual al objeto. Determinar la potencia de la lente y su índice de refracción.
La
distancia focal será:
1 / f' = (n -1).(1 / R' - 1 / R) = ( n -1).(1 / 0'125 - 1 / ¥ )= (n-1) / 0'125
las ecuaciones de la lente serán:
1 / x' - 1 / x = 1 / f' y' / y = x' / x
Si la imagen es igual al objeto ® y' / y = x' / x = - 1 ® x' = - x ® x = - 0'5m x' = 0'5 m
quedará: 1 / 0'5 + 1 / 0'5 = 1 / f' ® 1 / f' = 2 / 0'5 = 4 dioptrías
sustituyendo en la primera ecuación: 4 = (n -1) / 0'125 ® n = 4 . 0'125 + 1 = 1'5
