Problemas de Física, Bachillerato
Temas: Mecánica relativista, cuántica y de partículas
| Ión acelerado | Electrón acelerado |
| Dualidad onda-partícula PAU | Onda asociada PAU |
| Protón-electrón PAU | Desintegración |
| Fotón | Efecto fotoeléctrico |
| Choque de electrones | Reacción Nuclear PAU |
®
P.A.U. Oviedo 2001
Sabiendo que en la siguiente reacción nuclear se liberan 11'47 MeV de energía, determinar el isótopo y su masa atómica denotado por X en la reacción.
zAX + 11H ® 2 24He
Datos: Masas atómicas: Hidrógeno = 1'0078 uma, Helio = 4'0026 ; 1 uma = 931 MeV
Solución:
La suma de masas y de protones, incluyendo la fracción de masa transformada en energía, en ambos miembros de la ecuación deben ser iguales.
El isótopo X debe tener 3 protones, Z = 2.2 - 1 = 3, que se corresponde con un isótopo del Litio, y una masa de:
A(Li) + 1'0078 = 2 . 4'0026 + 11'47 / 931 ® A(Li) = 7'0097 uma
El número másico de este isótopo del Litio es 7, A=7, y la reacción es:
37Li + 11H ® 2 24He + 11'47 MeV
P.A.U. Oviedo 2001
Admitiendo que el protón en reposo tiene una masa 1836 veces mayor que la del electrón en reposo, ¿ qué relación existirá entre las longitudes de onda de De Broglie de las dos partículas si se mueven con la misma energía cinética y considerando despreciables los efectos relativistas ?
Solución:
Si E es la energía cinética de una partícula, su cantidad de movimiento será:
E = m.v2 /2 = p2 /(2m) ® p = (2.m.E)1/2
y la longitud de onda asociada:
l = h / p = h / (2.m.E)1/2
Para el protón y el electrón con igual energía E, sus longitudes de onda serán:
lp = h / (2.mp.E)1/2 le = h / (2.me.E)1/2
y la relación entre ellas:
le / lp = (mp / me )1/2 = 18361/2 = 42'85
La longitud de onda asociada al electrón es aproximadamente 43 veces la longitud de onda asociada al protón.
Un electrón partiendo del reposo es acelerado por una diferencia de potencial de 400 000 voltios. Calcular su velocidad.
Solución:
El trabajo que realiza el campo sirve para aumentar la energía cinética:
Ec =q. (V1 – V2) = 1’6.10-19 .4.105 = 6’4.10-14 J
Desde el punto de vista clásico la velocidad que adquiriría sería:
m.v2 /2 = 6’4.10-14 ® v = (2. 6’4.10-14 / 9’1.10-31 )1/2 = 3’75.108 = 1’25.c
lo que es imposible, pues ningún móvil puede superar la velocidad de la luz.
Desde la mecánica relativista, a medida que aumenta la velocidad aumenta la masa, siendo la Energía cinética:
Ec = (m-mo).c2 = 6’4.10-14 ® m = mo + 6’4.10-14 / 9.1016 = 1’62.10-30 = 1’78 mo
La velocidad que adquiere será:
m = mo / ( 1 – v2/c2)1/2 ® v = c. (1 – mo2/ m2)1/2 = c. ( 1 – (9’1.10-31)2/(1’62.10-30)2)1/2 = 0’823 c = 2’47.108 m/s
P.A.U. Zaragoza Junio 2000
Un protón es acelerado partiendo del reposo por una diferencia de potencial de 1000 V. Calcular la longitud de la onda asociada.
Solución:
La energía cinética que adquiere será el trabajo realizado por el campo:
Ec =q. (V1 – V2) = 1’6.10-19 .1.103 = 1’6.10-16 J
Desde el punto de vista clásico la velocidad que adquiriría sería:
m.v2 /2 = 1’6.10-16 v = (2. 1’6.10-16 / 1’67.10-27 )1/2 = 4’38.105 m/s = 0’0015 c
la velocidad es muy inferior al 20 % de la velocidad de la luz, por lo que su comportamiento es no relativista, puede considerarse su masa constante.
La relación entre la energía cinética y la cantidad de movimiento es:
Ec = m.v2 / 2 = p2 /(2m) ® p = (2.m.Ec)1/2 = (2. 1’67.10-27. 1’6.10-16)1/2 = 7’31.10-22 Kg.m/s
Según de Broglie, la longitud de onda y la frecuencia asociada son:
F = E / h = 1’6.10-16 / 6’62.10-34 = 2’42.1017 Hz
l
= h / p = 6’62.10-34 / 7’31.10-22 = 9’06.10-13 m
P.A.U. Madrid Junio 2002
a) ¿ Qué velocidad ha de tener un electrón para que su longitud de onda de De Broglie sea 200 veces la correspondiente a un neutrón de energía cinética 6 eV ?
b) ¿ Se puede considerar que el electrón a esta velocidad es no relativista ?
Datos:
Masa del electrón = 9'1.10-31 kg , Carga del electrón = 1'6.10-19 C
Masa del neutrón = 1'7.10-27 kg , Velocidad de la luz = 3.108 m/s
Solución:
Según De Broglie, toda partícula en movimiento tiene una onda asociada, de tal manera que la frecuencia, F, de la onda y la energía, E, de la partícula están relacionadas, así como la longitud de onda, l , y el momento lineal, p :
E = h . F , p = h / l
La relación entre la Energía cinética y el momento lineal de una partícula es:
E = m . v2 / 2 = m2 . v2 / (2.m) = p2 / (2.m) ® p = ( 2.m . E )1/2
La longitud de onda asociada al neutrón será:
E = 6 eV = 6 . 1'6.10-19 = 9'6.10-19 Julios
pn = ( 2. 1'7.10-27 . 9'6.10-19 )1/2 = 5'7.10-23 kg.m/s
ln = h / p = 1'75.1022 . h metros
Si la longitud de onda del electrón debe ser 200 veces la del neutrón:
le = 200 . ln = 200 . 1'75.1022 . h = 3'5.1024 . h metros
la cantidad de movimiento y la velocidad del electrón deben ser:
pe = me . ve = h /le = h / ( 3'5.1024 . h ) = 2'86.10-25 kg.m/s
ve = pe / me = 2'86.10-25 / 9'1.10-31 = 313 909 m/s » 314 Km/s
A esta velocidad el electrón es no relativista pues su velocidad es del orden del 0'1 % de la velocidad de la luz.
Un ión de masa en reposo 2.10-26 Kg y carga +1'6.10-19 C, partiendo del reposo, es acelerado por un campo eléctrico uniforme de 80 N /C durante 5 s. Determinar la energía cinética final.
Al chocar dos electrones con la misma velocidad se producen tres pares electrón-positrón. Determinar la velocidad mínima.
Al chocar los dos electrones se producen tres pares electrón-positrón junto con los electrones iniciales, ocho partículas en total, en reposo.
Aplicando la conservación de energía:
Efinal = Einicial ® 8. mo. c2 = 2. m. c2 ® m = 4. mo
la masa antes del choque de cada electrón es cuatro veces mayor a la que tiene en reposo.
m = mo / [ 1 - (v/c)2 ]1/2 = 4. mo ® 1 /16 = 1 - (v /c)2 ® v = c. (15 /16)1/2 = 0'97. c
El intervalo de longitudes de onda del espectro visible es 4.10-7 m y 7.10-7 m. Determinar en qué parte del espectro se sitúa un fotón cuya energía es 5'6 eV.
E = h. F ® F = E /h = 5'6.1'6.10-19 /6'625.10-34 = 1'35.1015 Hz
l = c /F = 3.108 /1'35.1015 = 2'22.10-7 m , ultravioleta
Al iluminar un metal con radiación electromagnética de longitud de onda 185 nm se necesita un potencial de 4'732 V para detenerlos, y si se ilumina con 253'6 nm el potencial es de 2'919 V. Determinar la longitud de onda umbral y la velocidad de los electrones.
La energía del fotón sirve para extraer el electrón del metal y comunicarle energía cinética. Esta energía cinética es igual al trabajo necesario para detenerlo con una diferencia de potencial eléctrico:
h.F = W + Ec ® h. c /l = W + q. V ® W = h. c /l - q. V
W = 6'625.10-34 .3.108 / 185.10-9 - 1'6.10-19.4'732 = 3'17.10-19 J = 1'98 eV
La longitud de onda umbral es la de aquella radiación que sólo permitiría extraer el electrón, sin comunicarle energía cinética:
h. c /lumbral = W ® lumbral = h. c /W = 6'625.10-34 .3.108 / 3'17.10-19 = 6'3.10-7 = 630 nm
La velocidad del electrón será:
½. m. v2 = q. V ® v = (2. q. V /m)1/2
para 185 nm ® v = (2.1'6.10-19.4'732 / 9'1.10-31)1/2 = 1'29.106 m/s
para 253'6 nm ® v = (2.1'6.10-19.2'919 / 9'1.10-31)1/2 = 1'01.106 m/s
Los dos pares de datos son necesarios si se desconoce el valor de la constante de Planck, para plantear un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas; h, W
El carbono 14 tiene un período de semidesintegración de 5730 años y una masa atómica de 14'0032 u. Disponemos de una muestra de carbono 14 con una actividad de 4'93.109 desintegraciones por minuto. Determinar su actividad y su masa al cabo de 1010 segundos.
En todo momento, la variación en la unidad de tiempo del número de átomos radiactivos es proporcional y opuesta al número de átomos radiactivos:
d N /dt = - k. N ® N = No. e-k.t
La actividad es el número de átomos que dejan de ser radiactivos en la unidad de tiempo, por lo que:
A = |d N /dt| = k. N
El período de semidesintegración T es el tiempo que debe transcurrir para que la muestra radiactiva se reduzca a la mitad:
si t = T ® N = No /2 ® No /2 = No. e-k.T ® - ln 2 = - k. T
k = ln 2 / T = ln 2 / (5730.365.34.3600) = 3'84.10-12 1/s
El número de átomos radiactivos inicial y la masa serán:
N = A /k = (4'93.109 /60) / 3'84.10-12 = 2'14.1019 átomos
m = 2'14.1019 . 14'0032 . 1'661.10-27 = 4'98.10-7 kg
Al cabo de 1010 segundos, la actividad y la masa serán:
k. t = 3'84.10-12 .1010 = 0'0384
N = 2'14.1019 . e-0'0384 = 2'06.1019 átomos
A = N .k = 2'06.1019 . 3'84.10-12 = 7'9.107 Bq
m = 2'06.1019 .14'0032 . 1'661.10-27 = 4'79.10-7 kg
